Sildiarhiiv: Bayesi reegel

Mida peaks matemaatikas õpetama

Kõige parem oleks igasugusele „mida peaks õpetama” küsimusele vastata empiiriliselt, ehk leida, mis teadmised teevad õpilase hiljem edukaks (mingi edukriteeriumi järgi), aga minu teada selliseks empiiriliseks uurimuseks vajalikke andmeid saada pole. Nii et spekuleerin teoreetiliselt.
1) Propositsooniline loogika ja kvantorid, ning sellele vastav hulgateooria. Rakendus: kuidas leida vastuolulisi väiteid tekstis, kuidas vältida loogika ja hulgateooria abil psühholoogiast ja käitumisökonoomikast tuttavaid otsustusvigu (Linda efekt; inimesed on nõus maksma suurem summa, et kindlustada end terrorismist põhjustatud surma vastu kui igasuguse surma vastu; inimesed reageerivad erinevalt kirjeldustele „kolmandik sureb” ja „kaks kolmandikku elab”).
2) Bayesi reegel (propositsiooniline loogika on Bayesi reegli erijuht). Algteadmise Bayesi reeglist saaks lastele anda juba siis, kui nad veel numbreid ei tunne. Näiteks joonistada neljaks jagatud ruut, kus read on „sündmus toimus” ja „ei toimunud” ning veerud „signaal näitas, et toimus” ja „signaal näitas, et ei toimunud”. Liigutades vertikaalset joont neljaks jagatud ruudus vasakule või paremale, muudame esimest ja teist tüüpi vea tõenäosust. Rakendus: tõenäosusega seotud otsustusvigade vältimine (väikeste arvude seadus, mündiviskel kolme kulli järel peab tulema kiri, Monty Halli probleem).
3) Statistika alused (põhineb Bayesi reeglil). Rõhk mitteparameetrilisel statistikal ja kliiniliste katsete tõlgendamisel, mitte vähimruutude meetodil (OLSil). Rakendus: kuidas ära tunda vigast või tahtlikult väärjäreldusele suunavat statistikat; valimi suurus ja parameetri hinnangu jaotus. Usaldusnivoo tuletamine ainult jaotuse kaudu, mitte asjana iseeneses.
4) Isiklik rahandus ja arvestus, sealhulgas liitintress, protsendid, astmeline maksusüsteem, neto- ja brutopalk.
5) Peastarvutamine poeskäimisel, sealhulgas hinna arvutamine massi- või mahuühiku kohta eri suurusega pakendite puhul, täpse vahetusraha arvutamine, kontsentraadi ja lahjendatud mahla või pesuvahendi hinnavõrdlus.
6) Lähendamine arvutustes, eriti peastarvutamisel, aga ka arvutiga numbriliselt lahendades. Rakendus: ülesande väga vale vastuse äratundmine.
7) Matemaatika rakendused teistes teadusvaldkondades (http://www.sanderheinsalu.com/ajaveeb/?p=101).
8) Optimeerimine ja mikroökonoomika alused. Riski ja kindlustuse mõistmine, eri kaupade piirkasulikkuste võrdsus, optimaalse piirkulu võrdumine piirtuluga.
9) Kuidas eristada küsimusi, mida lahendada peast, paberi ja pliiatsi matemaatikaga või arvutiga. Kuidas küsimust arvuti jaoks sobivasse vormi teisendada ja siis arvutil lahendada (www.computerbasedmath.org).
Kui on paika pandud, mida õpetada, siis saab vastata küsimusele, kuidas õpetada.
Mängude kaudu õpetamine paistab empiiriliselt olevat edukas. Mängude kaudu saaks õpetada isiklikku rahandust ja arvestust, näiteks lisada laenamine-säästmine-investeerimine ja maksud Sims tüüpi mängu, kus tuleb juhtida inimese igapäevast elu. Sinna saab lisada ka petlikud finantspakkumised, mis püüavad mängijat raha kaotama panna (Nigeeria kirjad, kiirlaenud, kasiino ja loterii, bruto- ja netopalga vahega mängimine, kõrgema palgaga elukohas on elukallidus suurem).
Lähendamise arvutimänguga õpetamiseks võib sobida sõjaline tulejuhtimine: antakse sihtmärgi kaugus, tuule suund, mürsu algkiirus jms, ning mängija peab valima, kuhu sihtida, sisestades arvulised koordinaadid. Sisestamise kiirus loeb, seega ei saa täpselt arvutada, vaid peab lähendama. Samuti saab teha mängu, kus peab arvutama, kas lennuk suudab teatud pommikaalu ja kütusehulgaga sihtmärgini ja tagasi jõuda, või kui suure pommikaalu lennukile antud kauguse, kütusekulu ja kütusehulga juures võib peale laduda.
Poeskäimisega seotud peastarvutamise õpetamiseks võib teha võistlusliku mängu, kus mängijad mõtlevad välja erinevaid tootepakkumisi (hind, kogus, kontsentratsioon, erinevate toodete ühes pakis müümine) ja peavad valima teiste mängijate erinevate pakkumiste vahel. Võidab see, kes kulutab nõutud ostukorvi peale kõige vähem raha ja suudab oma pakkumistega panna teised kõige rohkem raha kulutama (ehk suunata teised valedele otsustele). Kiirem otsustamine annab rohkem punkte, nii et tuleb arvutada kiiresti, peast ja lähendades.

Miks teadus kaotab propagandale

Aeg-ajalt kaeveldakse ajakirjanduses, et inimesed usuvad umbluud ja eitavad teadust (kliimamuutuse, alternatiivmeditsiini, evolutsiooni jm osas). Lahendusena soovitatakse teadlastel rohkem meediaga suhelda ja oma avastusi paremini populariseerida. See on sümptomite, mitte põhjuste ravimine, ja pealegi ebaefektiivne ravi.

Kui teadlased võistlevad avaliku arvamuse mõjutamisel propagandaekspertidega (poliitikud, PR inimesed, turundajad), siis nagu amatöörid professionaalide vastu ikka, teadlased kaotavad. Harjutades ajupesu rohkem, võivad teadlased kaotuse suurust vähendada, aga kaotama nad jäävad, kui nad just ei keskendu propagandale põhitegevusena (ei muutu professionaalideks). Aga siis lakkavad nad olemast teadlased ja muutuvad propagandistideks. Inimese ressursid on piiratud, nii et mitmes valdkonnas tipus olemine on pea võimatu. Kui põhitegevus on sõnumi levitamine, ei jää aega teaduseks. Kui teha teadust ja populaarteadust võrdselt, pole kumbki neist tipptasemel, nii et jäädakse maha nii avaliku arvamuse mõjutamisel kui teaduse avaldamisel.

Lisaks peab teadus olema aus, muidu pole see teadus. Ausus nõrgendab propagandavõimekust. Kui üks propagandist kasutab kõiki võtteid ja teine ainult ausaid, siis võidab esimene. Kui ideoloogia ainus eesmärk on mõjutada, aga teadusel on ka muid olulisi eesmärke (ausus näiteks), siis on ajupesus edukam ideoloogia. Nii et isegi kui teadlased täiskohaga mõjutajateks hakkaksid, vähendaks nende sõnumi olemus võiduvõimalusi propagandasõjas. Võib muidugi kasutusele võtta ka demagoogia, sarnaselt vastastele, aga siis ei levitata enam teadust, vaid ideoloogiat teaduse nahas. Teadus kas kaotab propagandale või lakkab olemast teadus.

Miks siis enamikul inimestel on mõningad teadusteadmised (Maa on ümmargune, vesi on H2O, haigused tulevad mikroobidest) ja ebateaduse ajupesu jääb ebatäielikuks? Ideoloogia ja teadus pole alati vastuolus. Kui poliitikutel ega turundajatel pole motiivi teadust eitada, siis saab teadus loobumisvõidu. Sõnum levib, sest keegi ei viitsi vastu vaielda.

Ebateaduse uskumine on osa laiemast probleemist: propaganda ja turunduse mõju all olemisest. Lahendus ei ole parem teaduskommunikatsioon ehk ajupesu vastu võitlemine selle enda vahenditega. Ajupesul on koduväljaku eelis. Teadlased võivad ju kirjutada artikleid, mis hetkel levinud lollusi kummutavad, aga siis leiutatakse kohe uus umbluu või avaldatakse meedias laviin vastuväiteid (vääraid, aga see ei loe). Ebateadust ja ideoloogiat saab välja mõelda palju kiiremini kui ümber lükata. Sümptomite ravi ei aita.

Ei aita ka ajupesu stiilis “Uskuge teadlasi, mitte propagandiste,” sest kuidas tuvastada tõelisi teadlasi? Tihti väidab ebateadus end olevat teadus ja leiab ka mõned teadlased, kes seda kinnitavad. Aga teadlaste kompetentsis on suured erinevused (http://sanderheinsalu.com/ajaveeb/?p=471) ja isegi tipptasemel tarkus ja haridus koos ei taga tervet mõistust (http://sanderheinsalu.com/ajaveeb/?p=536).

Probleemi põhjus on teadusliku meetodi kasutamata jätmine, kas selle mittetundmise või kasutusharjumise puudumise tõttu. Kui nõuda kõigile väidetele teaduslikku tõestust, läheb propagandistidel elu raskeks. Tuleb mõista tõestuse olemust, muidu veetakse ninapidi reklaamsõnumiga “Teaduslikult tõestatud.” Teaduslikku meetodit ja statistiliselt õiget otsustamist peaks õpetama hiljemalt algkoolis (http://www.sanderheinsalu.com/ajaveeb/?p=286). Nende oskuste praktiline kasutamine peaks olema automaatne refleks, mida pideva harjutamisega alal hoitakse. Elulisi rakendusvõimalusi leiab lasteaiast peale: kuidas eristada ausaid mängukaaslasi ebaausatest? Mõtle välja võltssaladused ja räägi igaühele erinev saladus koos palvega seda mitte edasi rääkida. Hiljem teistelt kuuldud “saladused” tuvastavad ebausaldusväärsed. Milline käitumine, riietus ja jutt teeb kaaslaste hulgas populaarseks? Võiks ju kasutada teaduslikku meetodit selle kontrollimiseks. Milline trenn või kosmeetika annab hea välimuse? Tuleks teha korralik katse endaga (http://sanderheinsalu.com/ajaveeb/?p=350).

Kokkuvõtvalt: kui inimesed ei mõista või ei usu teadust, miks pakutakse lahendusena teaduse lihtsustamist ja meelelahutuslikumaks muutmist? Miks mitte mõistmisvõime tõstmist?

Enesesignaliseerimine

Signaliseerimine toimub olukorras, kus informeeritud osapool püüab veenda vähem teadjat oma pädevuses (tarkuses, usinuses, aususes vm). Informeeritud osapool võib olla pädev või mitte. Kui on mingi tegevus või saavutus, mis on pädevale piisavalt väikese ja mittepädevale piisavalt suure kuluga, siis saab pädev sellega end mittepädevast eristada. Näiteks hariduse omandamisega saab töötajakandidaat signaliseerida oma õppimisvõimet tööandjatele.
Enesesignaliseerimise puhul on signaali saajaks saatja ise, täpsemalt tema tulevane mina. Kui inimesele on kasulik mõelda endast kui pädevast (meeldiv tunne, enesekindlus aitab edu saavutada), siis proovib praegune mina veenda tulevast mina oma pädevuses. Eelduseks, et tulevane mina unustab praeguse mina teadmise tegeliku pädevuse kohta ja peab selle kohta infot hankima praeguse mina valitud tegevusest või saavutusest. Praegune mina teab oma taset, aga valib kõrgemale tasemele vastava tegevuse, mis on kulukas (suurem läbikukkumistõenäosus või pingutus). Tulevane mina kasutab Bayesi reeglit ja tema keskmine hinnang praeguse mina tasemele (mis on ka tulevase mina tase, sest tegu on sama isikuga) on õige. Aga see õige hinnang saavutatakse ainult praeguse mina kõrgemale tasemele sobiva tegevusega. Valides praeguse mina tegelikule tasemele vastava tegevuse, oleks tulemuseks alahindamine tulevase mina poolt.
Benabou ja Tirole on kirjutanud palju kõrgetasemelistes ajakirjades avaldatud artikleid enesesignaliseerimise mitmesuguste vormide kohta. Üks neist on “Over my dead body: bargaining and the price of dignity”, kus signaaliks on suurema nõude esitamine läbirääkimistel. Kõrgema pädevusega praeguse mina puhul oleks suur nõue õigustatud, aga suuremapoolse nõude esitavad ka madalama pädevusega isikud, et veenda oma tulevast mina oma kõrges kompetentsis. Suurte nõuete esitamine viib läbirääkimiste katkemisele ja kulukale tülile. See on signaali kulu.

Esimene samm teaduse tegemisel

Richard Feynmani kohaselt (http://neurotheory.columbia.edu/~ken/cargo_cult.html) on esimene samm teaduse tegemisel mitte petta ennast. Enesepettus tekib näiteks siis, kui uurija soovib saada mingit tulemust (uudset, hästimüüvat) ja tõlgendab andmeid sellele tulemusele soodsalt. Paneb rõhku kooskõlalistele andmetele ja ignoreerib vastuolulisi.
Enesepettuse vältimiseks tuleks katse plaan enne katset üles kirjutada (ja võibolla ka avalikku katsete andmebaasi lisada) ja siis seda plaani järgida. Plaan peaks kirjeldama katset nii, et teised suudaksid ainult plaani kasutades seda katset korrata. Lisaks peaks plaan paika panema tulemuste tõlgendamise juhise. Ehk milliste andmete korral lugeda üks vastus statistiliselt tõenäolisemaks, milliste korral teine. Muidu hakatakse pärast andmete kogumist katse kriteeriume muutma stiilis “see mõõtmistulemus on ebanormaalne, jätame selle andmetest välja”. Väljajättu esineb muidugi sagedamini eelarvamust kummutavate andmete puhul.
Kui seda teaduslikku meetodit rakendada inimeste hindamisel, siis läheb elu raskeks neil, kes pidevalt andeks paluvad ja siis uue sigaduse korraldavad. Andeksandjad mõtlevad ilmselt sagedasti: “Ega ta enam ei tee. Anname talle veel ühe võimaluse.” Kui viimane võimalus oleks tõepoolest üks ja ainus, poleks kahju kuigi suur, aga tegelikkuses kipub neid viimaseid võimalusi üksteisele järgnema päris palju. Selle vältimiseks võiks proovida kirja panna kõik hinnatava inimese olulised sigadused, neile järgnenud tagajärjed, vabandused ja andeksandmised. Mingil hetkel tuleb tahtmine anda mitte rohkem kui üks võimalus veel. Kui see siis kirja panna, on tulevikus raskem endale õigustada veel ühe lisavõimaluse andmist.