Sildiarhiiv: matemaatika

Mida peaks matemaatikas õpetama

Kõige parem oleks igasugusele „mida peaks õpetama” küsimusele vastata empiiriliselt, ehk leida, mis teadmised teevad õpilase hiljem edukaks (mingi edukriteeriumi järgi), aga minu teada selliseks empiiriliseks uurimuseks vajalikke andmeid saada pole. Nii et spekuleerin teoreetiliselt.
1) Propositsooniline loogika ja kvantorid, ning sellele vastav hulgateooria. Rakendus: kuidas leida vastuolulisi väiteid tekstis, kuidas vältida loogika ja hulgateooria abil psühholoogiast ja käitumisökonoomikast tuttavaid otsustusvigu (Linda efekt; inimesed on nõus maksma suurem summa, et kindlustada end terrorismist põhjustatud surma vastu kui igasuguse surma vastu; inimesed reageerivad erinevalt kirjeldustele „kolmandik sureb” ja „kaks kolmandikku elab”).
2) Bayesi reegel (propositsiooniline loogika on Bayesi reegli erijuht). Algteadmise Bayesi reeglist saaks lastele anda juba siis, kui nad veel numbreid ei tunne. Näiteks joonistada neljaks jagatud ruut, kus read on „sündmus toimus” ja „ei toimunud” ning veerud „signaal näitas, et toimus” ja „signaal näitas, et ei toimunud”. Liigutades vertikaalset joont neljaks jagatud ruudus vasakule või paremale, muudame esimest ja teist tüüpi vea tõenäosust. Rakendus: tõenäosusega seotud otsustusvigade vältimine (väikeste arvude seadus, mündiviskel kolme kulli järel peab tulema kiri, Monty Halli probleem).
3) Statistika alused (põhineb Bayesi reeglil). Rõhk mitteparameetrilisel statistikal ja kliiniliste katsete tõlgendamisel, mitte vähimruutude meetodil (OLSil). Rakendus: kuidas ära tunda vigast või tahtlikult väärjäreldusele suunavat statistikat; valimi suurus ja parameetri hinnangu jaotus. Usaldusnivoo tuletamine ainult jaotuse kaudu, mitte asjana iseeneses.
4) Isiklik rahandus ja arvestus, sealhulgas liitintress, protsendid, astmeline maksusüsteem, neto- ja brutopalk.
5) Peastarvutamine poeskäimisel, sealhulgas hinna arvutamine massi- või mahuühiku kohta eri suurusega pakendite puhul, täpse vahetusraha arvutamine, kontsentraadi ja lahjendatud mahla või pesuvahendi hinnavõrdlus.
6) Lähendamine arvutustes, eriti peastarvutamisel, aga ka arvutiga numbriliselt lahendades. Rakendus: ülesande väga vale vastuse äratundmine.
7) Matemaatika rakendused teistes teadusvaldkondades (http://www.sanderheinsalu.com/ajaveeb/?p=101).
8) Optimeerimine ja mikroökonoomika alused. Riski ja kindlustuse mõistmine, eri kaupade piirkasulikkuste võrdsus, optimaalse piirkulu võrdumine piirtuluga.
9) Kuidas eristada küsimusi, mida lahendada peast, paberi ja pliiatsi matemaatikaga või arvutiga. Kuidas küsimust arvuti jaoks sobivasse vormi teisendada ja siis arvutil lahendada (www.computerbasedmath.org).
Kui on paika pandud, mida õpetada, siis saab vastata küsimusele, kuidas õpetada.
Mängude kaudu õpetamine paistab empiiriliselt olevat edukas. Mängude kaudu saaks õpetada isiklikku rahandust ja arvestust, näiteks lisada laenamine-säästmine-investeerimine ja maksud Sims tüüpi mängu, kus tuleb juhtida inimese igapäevast elu. Sinna saab lisada ka petlikud finantspakkumised, mis püüavad mängijat raha kaotama panna (Nigeeria kirjad, kiirlaenud, kasiino ja loterii, bruto- ja netopalga vahega mängimine, kõrgema palgaga elukohas on elukallidus suurem).
Lähendamise arvutimänguga õpetamiseks võib sobida sõjaline tulejuhtimine: antakse sihtmärgi kaugus, tuule suund, mürsu algkiirus jms, ning mängija peab valima, kuhu sihtida, sisestades arvulised koordinaadid. Sisestamise kiirus loeb, seega ei saa täpselt arvutada, vaid peab lähendama. Samuti saab teha mängu, kus peab arvutama, kas lennuk suudab teatud pommikaalu ja kütusehulgaga sihtmärgini ja tagasi jõuda, või kui suure pommikaalu lennukile antud kauguse, kütusekulu ja kütusehulga juures võib peale laduda.
Poeskäimisega seotud peastarvutamise õpetamiseks võib teha võistlusliku mängu, kus mängijad mõtlevad välja erinevaid tootepakkumisi (hind, kogus, kontsentratsioon, erinevate toodete ühes pakis müümine) ja peavad valima teiste mängijate erinevate pakkumiste vahel. Võidab see, kes kulutab nõutud ostukorvi peale kõige vähem raha ja suudab oma pakkumistega panna teised kõige rohkem raha kulutama (ehk suunata teised valedele otsustele). Kiirem otsustamine annab rohkem punkte, nii et tuleb arvutada kiiresti, peast ja lähendades.

Bayesi reeglit võiks õpetada algkoolis

Veerpalu dopingujuhtum on järjekordne näide selle kohta, et inimesed ei mõista valepositiivseid ja valenegatiivseid tulemusi, ehk üldisemalt tinglikku tõenäosust. Ometi on tingliku tõenäosuse valdamine õige otsustamise juures üks olulisemaid tegureid. Näiteks Pratt ja kaasautorid (1964) tõestavad, et otsustamine, mis rahuldab väga nõrku eeldusi mõistlikkuse kohta stiilis „kui A on eelistatud B-le ja B C-le, siis A on eelistatud C-le“, peab järgima Bayesi reeglit.

Kuna Bayesi reegli intuitiivne seletus ei nõua mingit matemaatilist tausta ja reegel ise on nii laialt kasutatav ja oluline, võiks seda õpetada algkoolis või lausa lasteaias. Oot-oot, ütleb nüüd lugeja, Bayesi reegli jaoks on vaja korrutamist-jagamist, mis ometi on matemaatika ja võib ka mõnele täiskasvanule üle jõu käia. Sellest vastuväitest hiilisin ma eelnevalt aga kavalasti mööda, öeldes „intuitiivne seletus“, mitte lihtsalt reegel ise. Ka on osa matemaatikat lihtsam, kui esmapilgul paistab, näiteks on võimalik kuueaastasele lineaarvõrrandite lahendamist õpetada.

Bayesi reegli intuitiivne seletus võib sisaldada järgmisi osi. Joonistatakse ruut, jagatakse neljaks ruuduks ja seletatakse, et ülemises reas on õige vastus jah, alumises ei, vasakus tulbas on kellegi väidetav vastus jah, paremas ei. Nii et tuleb arvestada kõiki nelja varianti. Kui me nüüd teame, et keegi väidab kogu aeg jah, mida me saame tema jah-väitest tõe kohta järeldada? Mitte midagi. Samuti kellegi väitest, kes ütleb kogu aeg ei. Kui väide on kogu aeg õige, pole millegi üle arutleda, vastus on teada. Samuti kui väide on kogu aeg vale.

Kui on kaks inimest ja üks neist eksib tihedamini kui teine (näiteks teisel on kogu aeg õigus) ja nad väidavad vastupidiseid asju, kumba peaksime rohkem uskuma? Kui meil on teada neist kahest ainult ühe väide (jah), siis kumma inimese jah-väite puhul on meil rohkem usku, et tõde on „jah“?

Kui on kaks inimest, kes vahel räägivad tõtt, vahel valetavad sedamoodi, et esimene väidab „jah“ ka siis, kui vastus on ei, kuid mitte kunagi „ei“ kui vastus on jah ja teine väidab vahel „ei“ ka siis, kui vastus on jah, kuid mitte kunagi „jah“ kui vastus on ei, siis kumma inimese väite „jah“ peale peaksime rohkem uskuma, et tõde on „jah“? Järgmiseks võib võtta kaks inimest, kes võivad valetada mõlemas suunas, aga üks valetab rohkem jah-suunas, teine rohkem ei-suunas ja korrata küsimust.

Siis võib veel teha sissejuhatuse hulgateooriasse, joonistades lõikuvaid ringe ja rääkides noolemängust: kui teame, et nool langes esimesse ringi, kas me teame, et langes teise ringi? Kui teame, et langes esimesse ringi, kas teame, et ei langenud teise ringi? Kui kolm ringi lõikuvad ja kahe esimese ühisosa on ilmselgelt suurem kui teise ja kolmanda ning meile öeldakse, et nool langes teise ringi, siis kas peaksime rohkem uskuma, et langes esimesse või rohkem, et langes kolmandasse.

Ja lõpueksam on Monty Halli küsimus. Kes küsimust varem näinud pole ja esimese korraga õigesti vastab, saab kommi 🙂

Kuidas õpetada kuueaastast lineaarvõrrandeid lahendama

Jeff Ely ajaveeb Cheap Talk kirjeldab, kuidas arvutimäng Dragon Box õpetab lapsi, kes veel aritmeetikat ei tunne, lineaarvõrrandeid lahendama. Mängu sisuks on pildikaartide laua ühelt küljelt teisele liigutamine nii, et lõpuks jääks laua ühele küljele vaid üks kindel kaart. Pildikaardid vastavad võrrandi parameetritele ja lõpuks järele jääv kaart otsitavale muutujale x. Laua küljed on võrrandi vasak ja parem pool. Mängu reeglid kaartide liigutamise kohta vastavad võrrandi pooltele sama konstandi liitmisele ja poolte sama konstandiga korrutamisele.

Matemaatikute sisseränne ja konkurents USAs

Borjas ja Doran kirjutavad QJEs, kuidas Nõukogude Liidu lagunemise järgne matemaatikute sissevool USAsse mõjutas sealsete matemaatikute karjääri- ja avaldamisvõimalusi. Sissevoolu järgselt jäi rohkem matemaatika doktorikraadi saanuid töötuks ja lahkus teadusest, USA matemaatikud liikusid madalama tasemega ülikoolidesse ja avaldasid vähem artikleid.

Seda kõike on lihtne ennustada nõudluse ja pakkumise mudelist. Matemaatikute pakkumine suurenes, aga nõudlus jäi samaks, sest uusi töökohti ega ilmselt ka teadusajakirju ei loodud. Sama arv matemaatikuid täitis sama arvu kohti, aga need olid erinevad inimesed. Sisserännanud matemaatikud said töökohad ülikoolides, kust siis mõned seal varem olnud teadlased lahkusid nõrgematesse ülikoolidesse, kust omakorda osa varasemaid olijaid pidi lahkuma jne. Ülikoolide pingerea allotsa jõudes pidid sealt välja tõrjutud matemaatikud teadusest lahkuma.

Borjas ja Doran väidavad, et USA matemaatikute tootlikkus langes sisserände tagajärgel, aga sisserändajate teadustöö kompenseeris selle üsna täpselt. Kui autorid arvavad, et avaldatud teadusartiklite hulk (mis on neil tootlikkuse mõõduks) mõõdab teadlase absoluutset tootlikkust, siis teevad nad vea, jättes arvestamata samaks jäänud avaldamisvõimaluste arvu. Kui suurem arv teadlasi konkureerib sama arvu artiklikohtade pärast ajakirjades, siis loomulikult varasemate olijate artiklihulga langus võrdub uute tulijate artiklihulgaga. See ei tähenda kohalike teadlaste tootlikkuse langust, vaid keskmise artikli kvaliteedi tõusu. Fikseeritud artiklikohtade arvu korral mõõdab avaldatud artiklite hulk inimese suhtelist tootlikkust võrdluses teiste sama valdkonna teadlastega.

Kui ajakirjade toimetajad valivad neile saadetud artiklitest n parimat, siis sisse rännanud matemaatikud suudavad kohalike artikleid ajakirjadest välja tõrjuda ainult parema kvaliteedi abil. Kui uued tulijad avaldavad m artiklit, siis nende m artikli minimaalne kvaliteet on suurem või võrdne välja tõrjutud artiklitest parimaga. Kvaliteedi minimaalse tõusu suuruse saab leida, eeldades et immigrantide artiklid asendavad täpselt kohalike kõige viletsamad artiklid. Maksimaalse tõusu suurust lihtsalt avaldamisandmete põhjal leida ei saa, sest kui sisserändajate m artiklit on paremad kui kõik kohalike omad, siis võivad nad olla kuitahes palju paremad. Asendades m kohalike tippartiklit, sunnitakse asendatud artikleid asetuma m järgmisele kohale, m järgmist omakorda asendavad neist allpool olevaid jne. Ajakirjadest välja jäävad ikka kõige viletsamad, aga juurdetulijad võivad olla lõpmatult paremad kui algne hulk.

Muidugi pole ajakirjade toimetajad kõiketeadjad ega suuda alati valida parimaid artikleid, aga kui nad keskmiselt teevad õige otsuse (valivad parema artikli suurema tõenäosusega kui halvema), siis eelnev argument kehtib, ainult muutuste suurus väheneb (kvaliteet tõuseb vähem).

Tõestustest ja edusammudest matemaatikas

William Thurston (1994) on kirjutanud huvitava artikli teadustöö tegemisest matemaatikas. Üks tema meeldejääv mõte on, et matemaatiku ülesanne pole ainult suurimat võimalikku arvu teoreeme tõestada, vaid ka oma matemaatikavaldkonda populariseerida ja teistele selgitada.

Filosoofilisest vaatepunktist ei pea matemaatikas mitte ainult tõeseid tulemusi teadma, vaid ka nende tõestustest aru saama. Seetõttu on arvutipõhised tõestused vähem väärtuslikud, kui „käsitsi tehtud“. Thurstoni kohaselt peaks edendama inimkonna arusaamist matemaatikast, mille üks osa on uute tulemuste tõestamine, aga oluline on ka ideede selgitamine.

Isikliku kasu vaatepunktist tuleb osa uurimistöö meeldivusest teiste inimeste huvist teema vastu, nende heakskiidust tehtud tööle ja võimalusest ühist huvi pakkuval teemal arutleda. Seega peaks teadlane olema huvitatud oma valdkonna teistele selgitamisest ja teiste kaasatõmbamisest oma suuna uurimistöösse. Selle nimel on mõtet vähem uut teadustööd teha ja rohkem vana selgitada ja õpetada.

Ma ise lisaksin veel ühe iseka põhjuse, miks oma tööd teistele „müüma“ peaks – kui valdkonda lisandub teadlasi, siis tsiteeritakse varasemaid tulemusi rohkem. Need varasemad tulemused on pärit valdkonda varem sisenenud teadlastelt, kelle akadeemiline tuntus tõuseb, kui valdkond populaarsemaks muutub.

Üldisemalt on teaduse tegemise eesmärk, et ühiskond sellest mingit kasu saaks. Kasu saamiseks peavad inimesed teadust kuidagi kasutama ja kasutamiseks on vaja seda teatud määral mõista. Teaduse selgitamine teenib seega üldist eesmärki. Vahel rohkemgi, kui uue teaduse loomine.

Matemaatikud ja klassikaline muusika

Yale matemaatikateaduskonnas paistab muusikute osakaal väga suur olevat (nende matemaatikute põhjal, kellega ma rääkinud olen, seega väga väikese valimi põhjal). Tean ühte minu aasta matemaatikadoktoranti, kes mängib viiulit, teist, kes annab oma tuttavatele igal semestril klaverikontserdi ja kolmandat, kes oli lauluõhtul klaverimängija ja andis viiulitunde. Klassikalise muusika kontsertidel ülikooli kontserdisaalides olen tihti kohanud mitut matemaatikut ja majandusteoreetikut – ka majandusteaduskonna matemaatilisemad inimesed paistavad tihti olevat klassikalise muusika huvilised.

Oleks huvitav teada, kas huvi matemaatika vastu on korreleeritud huviga klassikalise muusika vastu, või on see ainult minu väikese valimi ja vildaka järeldamisprotsessi loodud illusioon. Kui korrelatsioon olemas on, tahaksin teada selle põhjust – kas on olemas põhjuslik seos kahe huvi vahel ja kumb kumba mõjutab.

Oletan, et huvid on positiivselt korreleeritud ja põhjuseks on, et nii matemaatika kui klassikaline muusika on keerulised, aga korrapärased süsteemid. Kelle aju selliseid süsteeme hästi mõistab, sel on eelis mõlema valdkonnaga tegelemiseks ja huvi mõlema vastu.

Matemaatika ja füüsika koos õpetamisest

Üks rakendusmatemaatika doktorant Yale’is oli veendunud, et klassikalist füüsikat peaks õpetama koos tuletiste ja integraalidega matemaatikas, kuna see matemaatika osa leiutati just klassikalise füüsika kirjeldamiseks ja sellega samaaegselt. Nõustun sellega täielikult.

Koolis ei loodud nende kahe valdkonna vahele peaaegu mingit seost, see tuli mul pärast endal avastada. Oleks olnud lihtsam tuletistest ja integraalidest intuitiivselt aru saada, kui neid oleks seostatud teepikkuse, kiiruse ja kiirenduse või energia ja impulsiga. Matemaatikas sai õpitud pähe palju pindalade ja ruumalade valemeid, aga neid oleks olnud lihtsam meelde jätta, kui neid tuletise kaudu üksteisega seostatud oleks – näiteks kera pindala on ruumala tuletis, ringi ümbermõõt on pindala tuletis. Füüsikas tuli samuti pähe õppida hulk valemeid kiiruse, kiirenduse, jõu, energia jm kohta, mida oleks olnud lihtsam teha, kui neid tuletiste ja integraalide kaudu omavahel seostatud oleks. Lisaks oleks mõningaid arvutusi olnud kergem teha tuletiste ja integraalide abil kui valemite abil.

Sarnane seose mitteselgitamine toimus füüsikas gravitatsiooni ja elektromagnetismi ülesannete puhul. Samad valemid, ainult erinevate muutujanimedega, kirjeldavad raskusjõudu ja elektrostaatilist tõmmet, elektrivälja kogu tehtavat tööd ja potentsiaalset energiat jne. Analoogia elektrivoolu ja veevoolu vahel oleks kasulik – pinge on kõrguste vahe jõe alguse ja lõpu vahel, voolutugevus on jõe ristlõiget läbiva vee hulk sekundis, võimsust ja tehtavat tööd arvutatakse mõlemal juhul samamoodi.

Mulle on jäänud mulje, et inimesed mäletavad seoseid faktide vahel paremini kui fakte. Sel juhul on igasugusel õppimisel kasulik luua seoseid aine sees ja ainete vahel. Minu koolis seda eriti ei tehtud.

Kaarditarkvara teoreemide tõestamiseks

Teoreemid on nagu sõidujuhised matemaatiliste lausete ruumis – need viivad alguspunktist (eeldustest) lõpp-punkti (järeldusteni) mingite reeglite kohaselt. Teoreemitõestus on osaliselt juba automatiseeritud, kuna on olemas loogikaprogrammid, mis leiavad eelduste ja järelduste seose. Võimalik, et sõidujuhiseid arvutavast kaarditarkvarast saab ideid või elemente automaattõestamise kiiremaks ja laialdasemaks muutmiseks.

Tavalisel tõestamisel oleks abiks programm, mis erinevalt Wikipediast mõistaks matemaatiliste lausete sisu (semantilise veebi sarnaselt) ja võimaldaks esitada päringuid antud matemaatilisest lausest järelduvate lausete kohta. Samuti lausete kohta, millest antud lause järelduks, ja samaväärsete lausete kohta.

Olemasolev matemaatika kajastuks kui suunatud graaf (võrgustik), kus matemaatilised väited on tipud (sõlmed) ja teoreemid on servad (nooled). Osa matemaatikast saaks andmebaasi sisestada automaatselt, õpetades programmi Wikipedia artikleid lugema. Valemid Wikipedia lehtedel saaks nende aluseks oleva LaTeXi koodi järgi andmebaasi sisestada ja sõnu „järeldub“ või „ekvivalentne“ sisaldavad laused Wikipedia artiklites tekitaksid andmebaasis seoseid.