Sildiarhiiv: loogika

Väidete tõesuse hindamine valdkonnas, mida ise ei tunne

Arvamusliidrid, ajakirjandus, turundajad jne esitavad igasuguseid väiteid, mille tõepära võib valdkonda mitte tundval inimesel olla keeruline tuvastada. Tõestamiskohustus peaks olema väite esitajal. Täit tõde ei saa me kunagi teada, kuna elame tõenäosuslikus universumis. Isegi piisavalt keeruline deterministlik protsess näib juhuslik (Lipman 1991). Täit tõde pole enamasti vaja, sest piisavalt väikese veaga teabest piisab õige otsuse tegemiseks. Teatud määral informatiivse signaali saame peaaegu iga väite kohta.

Esimene kontroll on loogika. Kahest omavahel vastuolus väitest on vähemalt üks vale. Võivad ka mõlemad väärad olla, näiteks „X on ainult homoseksuaalne”, „X on puhtalt hetero” kui X on tegelikult bi. Muu teabe puudumisel väheneb iga vastuolus osaleva väite tõesuse tõenäosus. Väidete võrdlemiseks peab muidugi väitja varasem jutt meeles olema. Igasugune väidete kontroll vajab mälu – kas varasemate väidete, füüsikaseaduste või muude teabeallikatega võrdlemiseks.

Vastuolu on negatiivne signaal tõesuse kohta, seega väidete kooskõla on positiivne signaal. Üldiselt, kui üks signaali väärtus suurendab mingit tõenäosust, siis vastandlik signaali väärtus vähendab seda. Paljude võimalike signaali väärtuste korral kui üks signaali väärtus suurendab millegi tõenäosust, siis on olemas ka vähemalt üks signaali väärtus, mis seda tõenäosust vähendab.

Väidete kooskõla on enamasti üsna nõrk signaal tõesusest, sest enamik väiteid on samal allikal kooskõlalised. Kui signaali väärtus esineb tihti, siis ei ütle selle esinemine eriti palju – olukord on tavalisele lähedane.

Väite tõesust saab kontrollida, võrreldes seda maailma kohta teada olevaga (füüsikaseadused, objektiivsed mõõtmised nagu turvakaamera salvestis jne), aga jätan need variandid kõrvale, kuna eelduseks oli valdkonda mitte tundev inimene. Selline kuulaja ei pruugi suuta siduda arvamusliidri väiteid muude valdkondadega ja tuvastada vastuolu või kooskõla.

Teised kontrollid väidete tõesuse kohta on statistilised. Kui antud valdkonnas tuleb andmeid juurde, siis parim hinnang tõe kohta muutub ajas, sest tõenäosus, et uued andmed langevad täpselt kokku varasema hinnanguga, on nullilähedane. Seega peaks aus asjatundja oma arvamust iga uue andmeavaldamise valguses pisut muutma. Muutus võib olla nii väike, et sõnades seda ei väljendatagi, ainult arvuliste prognooside komakohad erinevad. Inimene, kes endale aru annab, et ta täit tõde ei tea (sest keegi ei tea), on valmis andmetest saadavat teavet oma uskumusele lisama ja seega keskmist uskumust nihutama. See kehtib tegeliku maailma kohta, mitte abstraktsete konstruktsioonide nagu matemaatika. Ega teada oleva matemaatika kohta uusi „andmeid” peaaegu ei tulegi. Matemaatika areneb varem mitte teada olnud seoste avastamisega ja vahel tõestuses vea avastamisega.

Kaljukindlalt samale seisukohale jäämine uutest andmetest hoolimata on negatiivne signaal allika tõesuse kohta. Usuhullud tunnevad uhkust oma tugeva usu üle, mida miski kõigutada ei suuda, ehk oma soovimatuse üle õppida.

Teisest küljest, arvamuse radikaalne muutmine iga uue andmeavaldamise järel on samuti negatiivne signaal allika tõesusest, sest oma uskumust statistiliselt õigesti uuendades peaks uus teave lisanduma vanale, mitte seda asendama. Erandiks on kui uued andmed tõestavad, et eelnevad andmed olid puhas müra ja tuleks ära visata, näiteks olid võltsitud. Selline tõestus on haruldane ja alati on võimalus, et uued andmed ise on valed. Valesüüdistusi võltsimises on ennegi esitatud.

Enamiku praktikas esinevate tõenäosusjaotuste puhul on uus uskumus peale andmete lisandumist vana uskumuse ja uue signaali vahepeal. Normaaljaotusega muutuja korral, kui andmetes sisalduv müra on ka normaaljaotusega, siis on uus uskumus lineaarne kombinatsioon vanast uskumusest ja uuest signaalist. Enamasti peaksid andmed „tõmbama uskumust enda poole” ja mitte „endast üle teisele poole”, aga esineb ka tõenäosusjaotusi ja signaalimüra kujusid, mille korral kogu uskumuse jaotus liigub uuest signaalist eemale. Enamasti on arvaja väite liikumine uute andmete näidatud suunas, aga mitte andmetest „üle hüppamine” positiivne signaal tõesuse kohta ja eemaleliikumine negatiivne.

Mida rohkem on varasemaid andmeid ja väiksem uute andmete valim, seda vähem peaks uskumus uute andmete mõjul liikuma. Kaua teada olnud tervisliku toitumise põhimõtted (toidupüramiid) peaksid uute uurimuste valguses muutuma vaid mikroskoopiliselt. Tundmatu viiruse avastamisel võivad alguses uurimused ausate asjatundjate arvamusi radikaalselt muuta, aga teabe lisandudes sama suured uuringud üha vähem ja vähem. Kui varasemate andmete hulk läheb lõpmatusse, siis uskumuse keskväärtuse muut peaks minema nulli (martingaali koondumisteoreem, martingale convergence theorem).

Keskmiselt peaks uue uskumuse keskväärtus võrduma vana uskumuse keskväärtusega, nii et uskumuse ühes suunas liikumisi on (muutuse suurusega kaalutult) keskmiselt võrdselt teises suunas liikumistega. Muidu oleks varasem uskumus ju kallutatud olnud kui uus uskumus järjekindlalt ühes suunas muutub.

Statistiline kontroll nõuab piisavalt suurt valimit väiteid samalt allikalt, et väidete kaalutud keskmine muutus aja jooksul ühes ja teises suunas oleks arvutatav piisavalt väikese veaga.

Kokkuvõtteks, uskumus, mis on saadaoleva teabe põhjal parim hinnang tõe kohta, peaks andmete mõjul 1) muutuma, 2) rohkem kui uusi andmeid on rohkem, 3) vähem kui varasemaid andmeid on rohkem, 4) igas suunas keskmiselt ühepalju, 5) andmete suunas, 6) mitte liiga palju.

Seotud sisu:

On the optimal burden of proof

Tõestamiskohustus peaks olema väite esitajal

Lisa kommentaar

Toodete kohta esitatakse igasuguseid väiteid (noorendab nahka, väljutab toksiine, kasulik keskkonnale, toetab arengumaade väiketalunikke), mis enamasti pole tõendatud. Väite algne väljamõtleja saab tavaliselt selle uskujate pealt rahalist kasu.

Tõestamiskohustus peaks olema väite esitajal, mitte ümberlükkajal. Väite sihtrühma nullhüpotees peaks olema, et tootel pole seda omadust, mida väidetakse, olgu positiivset või negatiivset. Väiteid välja mõelda on suurusjärkude võrra lihtsam kui neid teaduslikult kontrollida, seega tõendada või ümber lükata.

Kui tõestamiskohustus on väite ümberlükkajal, jõuame loogilise vastuoluni, mille tuletuskäik on järgnev. Iga toote kohta käiva iga väite puhul esitame sama toote kohta vastupidise väite (vanandab nahka, sisestab organismi toksiine, kahjulik keskkonnale, kahjustab arengumaade väiketalunikke). Kuna neid esitamise hetkel ümber lükatud pole (enamikku ei viitsi keegi kunagi kontrollida), siis tuleb neid tõena võtta. Vastupidised väited sama toote kohta ei saa loogiliselt mõlemad tõesed olla. Vähemalt üks neist on väär, mis on vastuolus eeldusega, et ümber lükkamata väited on tõesed.

Väite algne esitaja enamasti üritab oma toodet konkureerivatest paremana näidata. Igasuguse paremusjärjestuse võib aga lihtsasti loogikaga vastuollu panna kui tõestamiskohustus on ümberlükkajal. Vastuolu tekitamiseks esitame kõik väited kõigi teiste toodete kohta. Kuni neid väiteid pole ümber lükatud, on kõigil toodetel kõik omadused. Sel juhul pole ühegi tootepaari vahel vahet – ei mingit paremusjärjestust. Loogiliselt pole siis mingit põhjust tarbida väidetega reklaamitavat toodet konkurendi asemel. Kui tarbijad mõtleksid loogiliselt, siis poleks väite algsel esitajal väitest kasu, sest selle neutraliseeriks vastandväide või kõigi teiste toodete kohta sama väide. Tarbija võib need väited oma peas endale esitada.

Kui tõestuskohustus oleks ümberlükkajal, peaks reklaamija vastandväite ja teiste toodete kohta sama väite ümber lükkama, et enda toodet eristada või paremana näidata. Kõigi väidete kontroll kõigi toodete kohta on lõpmatult kulukam kui ühe toote ühe väite kontroll. Loogiliselt mõtlevate tarbijate korral oleks ka reklaamijale kasulikum kui tõestuskohustus oleks väite esitajal. Reklaam tõestamata väidetega töötab tarbijate ebaratsionaalsuse tõttu.

„Teaduslikult tõestatud” on samuti väide, mida esitaja tõestama peaks. Teaduslik tõestus peab kasutama teaduslikku meetodit: kõigepealt panna paika, mis järeldus millistest andmetest teha (kui andmed tulevad x siis otsustame y), siis koguda andmed ja siis järgida alguses paika pandud järeldamisreeglit. Esimene samm on mitte petta ennast. Uuringu läbiviijad ei pea olema teadlased ega teadusasutused. Hea signaal oleks kui läbiviijad oleksid sõltumatud väite esitajast. Seda on keeruline tagada, sest uurimisasutused konkureerivad omavahel ja esitaja valib kontrolli läbiviijaks sellise asutuse, kust varem on esitaja väidet või sarnaseid väiteid kinnitavaid tulemusi tulnud. Uuringuraha saamiseks tekib asutusel motiiv esitaja väiteid kinnitada.

Kuidas tõestada, et kasutati teaduslikku meetodit? Üks viis järeldusreegli tõestamiseks on see avalikult registreerida, avaldades uuringuplaani vastavas veebiportaalis või lisades selle krüpteeritud plokiahelasse. Viimane võimaldab ka plaani kuni läbiviimise lõpuni salajas hoida ja siis dekrüpteerides tõestatult avaldada, et konkurendid seda ei kopeeriks ega ennetaks.

Andmete kogumise tõestamiseks võib kogu katse mitme nurga alt kogu pikkuses videosse võtta. Salvestusruum on tänapäeval odav. Video ei pea olema täiesti võltsimiskindel. Piisab, kui seda on nii kulukas võltsida, et odavam on aus katse teha ja negatiivse tulemuse korral väidet mitte esitada. Video saab samuti reaalajas krüpteerida ja plokiahelasse lisada, et seda hiljem avaldada ja selle salvestusaja ülempiiri tõestada.

Kui järeldusreegel ja andmed on avaldatud, siis saavad ka teised järeldusreeglit andmetele rakendada ja meetodi viimast sammu kontrollida. Andmete vorming ja järeldusreegli kirjeldus võivad selle sammu väga lihtsaks või keeruliseks muuta. Mida lihtsam, seda ausam. Lihtsust saab alguses testida, rakendades järeldusreeglit simuleeritud andmetele ja kogudes andmeid selliselt katsetatud vormingus.

Teadus ei anna tõde, küll aga parima signaali selle kohta

Lisa kommentaar

Arvan, et eksisteerib tõde – kuidas universumis asjad tegelikult on – aga see eksistents on usuküsimus. Eeldame, et tõde on olemas. Gödeli võimatusteoreemi kohaselt pole kõik tõesed väited tõestatavad. Seega teadus ei saa tõestada kõiki tõeseid väiteid.

Vaatame siis ainult matemaatiliselt tõestatavaid väiteid, mis peavad olema tõesed, aga ei hõlma kõiki tõeseid väiteid. Inimkonna praegune teaduse tase on kaugel sellest, et jõuda kõigi tõestatavate väidete tõestamiseni. Lisaks on minevik näidanud, et teaduses tehakse aeg-ajalt vigu. Seetõttu on tõenäoline, et ka praeguses teaduses on vigu, ehk teadus on „tõestanud“ ka mõned väärad väited. Loodetavasti lükatakse need väärad tõestused tulevikus ümber.

Enamik teadustööd väiteid ei tõesta (matemaatilise loogika mõistes), vaid pakub statistilist hinnangut tulemuste õigsuse kohta. Teaduse areng tähendab veapiiride kitsenemist ja täpsemaid tõenäosushinnanguid suurema arvu väidete kohta. Kui teadus tulemust ei tõesta, vaid annab statistilise hinnangu, siis ei tea inimkond antud asjas tõde, vaid ainult tõenäosuslikku signaali tõe kohta.

Miks siis kasutada teadust? Sest see on parim tõe kohta saadaolev signaal, mis inimkonnal on. „Parim signaal“ on informatsiooniteoreetiline mõiste, mis tähendab, et kõik teised signaalid on antud signaali mürarikkamad variandid. Kui tahta teha otsust, mille tulemus sõltub sellest, milline on tegelik tõde, siis parima oodatava tulemuse saamiseks tuleks järgida parimat signaali. Mõni teine signaal võib mõnel juhul anda sama hea tulemuse kui parim signaal, aga ei saa kunagi anda paremat, sest teise signaali võime saada parimast signaalist osa teabe ära viskamisel.

Teadusvastaste üks tavalisi demagoogiavõtteid on: „Kas sa arvad, et teadus teab kõike? Aga miks siis teadus pikka aega uskus valeväidet X, mis nüüdseks on ümber lükatud?“ Neid hiljem ümber lükatud väiteid on palju, sest enamjaolt annab teadus vaid tõenäosusliku tulemuse ja tulemuste suure hulga tõttu on ka ümber lükatud tulemusi arvukalt. Üks võimalik vastus ülaltoodud demagoogiavõttele ongi, et teadus ei tea muidugi kõike, aga on statistiliselt parim signaal tõe kohta, mis meil on. Rumal oleks jätta kasutamata osa inimkonnal olemas olevast infost, otsustades mingi halvema signaali (usu, ideoloogia, naabri jutu, internetifoorumi postituste) põhjal. Agressiivsem ja demagoogilisem vastus oleks: „Aga kas sina arvad, et sinu usk/ideoloogia/kuulujutt teab kõike? Miks siis see allikas pikka aega uskus valeväidet Z, mis nüüdseks on ümber lükatud? Teadus esitab vähem valeväiteid ja lükkab need kiiremini ümber, kui sinu allikas. Aeg-ajalt võib teadus eksida ja sinu allikas sama asja kohta õiget infot anda, aga see on harv juhus, keskmiselt see nii ei ole.“

Mida peaks matemaatikas õpetama

Lisa kommentaar

Kõige parem oleks igasugusele „mida peaks õpetama” küsimusele vastata empiiriliselt, ehk leida, mis teadmised teevad õpilase hiljem edukaks (mingi edukriteeriumi järgi), aga minu teada selliseks empiiriliseks uurimuseks vajalikke andmeid saada pole. Nii et spekuleerin teoreetiliselt.
1) Propositsooniline loogika ja kvantorid, ning sellele vastav hulgateooria. Rakendus: kuidas leida vastuolulisi väiteid tekstis, kuidas vältida loogika ja hulgateooria abil psühholoogiast ja käitumisökonoomikast tuttavaid otsustusvigu (Linda efekt; inimesed on nõus maksma suurem summa, et kindlustada end terrorismist põhjustatud surma vastu kui igasuguse surma vastu; inimesed reageerivad erinevalt kirjeldustele „kolmandik sureb” ja „kaks kolmandikku elab”).
2) Bayesi reegel (propositsiooniline loogika on Bayesi reegli erijuht). Algteadmise Bayesi reeglist saaks lastele anda juba siis, kui nad veel numbreid ei tunne. Näiteks joonistada neljaks jagatud ruut, kus read on „sündmus toimus” ja „ei toimunud” ning veerud „signaal näitas, et toimus” ja „signaal näitas, et ei toimunud”. Liigutades vertikaalset joont neljaks jagatud ruudus vasakule või paremale, muudame esimest ja teist tüüpi vea tõenäosust. Rakendus: tõenäosusega seotud otsustusvigade vältimine (väikeste arvude seadus, mündiviskel kolme kulli järel peab tulema kiri, Monty Halli probleem).
3) Statistika alused (põhineb Bayesi reeglil). Rõhk mitteparameetrilisel statistikal ja kliiniliste katsete tõlgendamisel, mitte vähimruutude meetodil (OLSil). Rakendus: kuidas ära tunda vigast või tahtlikult väärjäreldusele suunavat statistikat; valimi suurus ja parameetri hinnangu jaotus. Usaldusnivoo tuletamine ainult jaotuse kaudu, mitte asjana iseeneses.
4) Isiklik rahandus ja arvestus, sealhulgas liitintress, protsendid, astmeline maksusüsteem, neto- ja brutopalk.
5) Peastarvutamine poeskäimisel, sealhulgas hinna arvutamine massi- või mahuühiku kohta eri suurusega pakendite puhul, täpse vahetusraha arvutamine, kontsentraadi ja lahjendatud mahla või pesuvahendi hinnavõrdlus.
6) Lähendamine arvutustes, eriti peastarvutamisel, aga ka arvutiga numbriliselt lahendades. Rakendus: ülesande väga vale vastuse äratundmine.
7) Matemaatika rakendused teistes teadusvaldkondades (http://www.sanderheinsalu.com/ajaveeb/?p=101).
8) Optimeerimine ja mikroökonoomika alused. Riski ja kindlustuse mõistmine, eri kaupade piirkasulikkuste võrdsus, optimaalse piirkulu võrdumine piirtuluga.
9) Kuidas eristada küsimusi, mida lahendada peast, paberi ja pliiatsi matemaatikaga või arvutiga. Kuidas küsimust arvuti jaoks sobivasse vormi teisendada ja siis arvutil lahendada (www.computerbasedmath.org).
Kui on paika pandud, mida õpetada, siis saab vastata küsimusele, kuidas õpetada.
Mängude kaudu õpetamine paistab empiiriliselt olevat edukas. Mängude kaudu saaks õpetada isiklikku rahandust ja arvestust, näiteks lisada laenamine-säästmine-investeerimine ja maksud Sims tüüpi mängu, kus tuleb juhtida inimese igapäevast elu. Sinna saab lisada ka petlikud finantspakkumised, mis püüavad mängijat raha kaotama panna (Nigeeria kirjad, kiirlaenud, kasiino ja loterii, bruto- ja netopalga vahega mängimine, kõrgema palgaga elukohas on elukallidus suurem).
Lähendamise arvutimänguga õpetamiseks võib sobida sõjaline tulejuhtimine: antakse sihtmärgi kaugus, tuule suund, mürsu algkiirus jms, ning mängija peab valima, kuhu sihtida, sisestades arvulised koordinaadid. Sisestamise kiirus loeb, seega ei saa täpselt arvutada, vaid peab lähendama. Samuti saab teha mängu, kus peab arvutama, kas lennuk suudab teatud pommikaalu ja kütusehulgaga sihtmärgini ja tagasi jõuda, või kui suure pommikaalu lennukile antud kauguse, kütusekulu ja kütusehulga juures võib peale laduda.
Poeskäimisega seotud peastarvutamise õpetamiseks võib teha võistlusliku mängu, kus mängijad mõtlevad välja erinevaid tootepakkumisi (hind, kogus, kontsentratsioon, erinevate toodete ühes pakis müümine) ja peavad valima teiste mängijate erinevate pakkumiste vahel. Võidab see, kes kulutab nõutud ostukorvi peale kõige vähem raha ja suudab oma pakkumistega panna teised kõige rohkem raha kulutama (ehk suunata teised valedele otsustele). Kiirem otsustamine annab rohkem punkte, nii et tuleb arvutada kiiresti, peast ja lähendades.

Loogika2

Lisa kommentaar

Kui teaduse aluseks olevad loogika ja matemaatika reeglid muutuksid, muutuks ka kõik muu. Küsimus selline: kas on võimalik ka mingi teine loogika-matemaatika süsteem, nimetagem seda loogika2. Kui on võimalik kaks, siis muidugi lõpmatus.

Milline näeks universum välja teise loogikasüsteemi all? See küsimus on teatud mõttes paradoksaalne, sest me küsime: kui loogika2, siis mis veel? Küsimus toetub praeguse universumi loogikasüsteemile (loogika) ja tundub eeldavat vastust loogika seadusi järgides. Selline vastus on kas väga piiratud või määramata tõeväärtusega. Õigem küsimus oleks: kui2 loogika2, siis2 mis veel? Ehk selle kindlaks tegemiseks, mis toimuks loogika2 all, tuleb kogu uuringuprotsessis rakendada loogika2-te.

Eelnev on siiski kaheldava tõeväärtusega, sest selle tuletamiseks kasutasin ma loogikat – ma eeldasin, et loogika2 peab olema mittevastuoluline süsteem, aga mittevastuolulisus on defineeritud loogika all, mitte loogika2 all. Iga selline küsimus alternatiivsetest universumitest (sest iga loogika-matemaatika süsteem määrab arvatavasti universumi) võib põrkuda paradoksidele.

Kui tahta midagi öelda võimalike loogikate kohta, peaks kas leidma mingid invariandid – midagi, mis on sama iga loogika all – või tegema teatud eeldused, mis automaatselt piirab saadaolevate vastuste hulka. Jällegi, oletus invariantide või aksioomide vajalikkusest tuleneb loogikast.

Laiem vaade eelnevale probleemile paistab olevat, et küsimus sõltub küsijast ja keelest, milles küsimus esitatakse. Kui oletada küsija objektiivsust ja võimet tajuda vastust (vastuse piiratud ja lõplikku keerukust), jääb ikka keeleküsimus. Parim ja ilmselt ainus keel, milles eelnevaid küsimusi täpselt esitada saab, on matemaatika ja loogika süsteem. Vastus sõltub samuti keelest, milles küsimus esitatakse ja vastuse enda keelest. Esialgu tuleb vist piirduda väga piiratud ja keelest sõltuva vastusega eelnevatele küsimustele. Selle vastuse põhjal võib esitada edasisi küsimusi ja arendada keelt nende täpsemaks esitamiseks.

Meie loogika on tuletatud vaatlustest põhjuslikkuse ahelate kohta meie universumis. Kui me tahame küsida midagi nende põhjuslikkuse ahelate olemuse kohta, peaks seda küsima nii, et küsimus ei sõltuks nendest ahelatest. Iga loogika-matemaatikaga (ja inim- ja programmeerimiskeeltega) küsitud küsimus sõltub põhjuslikkuse ahelatest. Kui näiteks vastuseks oleks, et need põhjuslikkuse ahelad tegelikult sellised ei ole, nagu me arvame, näiteks ei eksisteeri, siis meie neist ahelatest tuletatud loogika ei tööta ja selles küsitud küsimused ja saadud vastused on kohe kaheldava tõeväärtusega (kui on määratud selline asi nagu tõeväärtus).

Esimene viis loogikat laiendada võiks olla tõeväärtuste lisamine, lisaks tõesele ja väärale ka näiteks tõene ja väär, ei tõene ega väär. Üks või mitu lisatud tõeväärtusi peaks kirjeldama tuntud paradokse ja võimaldama neid „lahendada”, näiteks lauset „Ma valetan praegu” tõeväärtuslikult määrata. Kui meil on kaks tõeväärtust, siis võiks olla lõpmatus (mitteloenduv astmes mitteloenduv astmes jne). Isegi kui tõeväärtusi on kontiinum, kus tõene ja väär võivad olla nagu 1 ja 0, eriomadustega elemendid, on ikka väga palju selle universumi vaatlemisest tuletatud reegleid küsimuste esitamist takistamas.

Küsimus järgnev: mis oli enne, kas hulk või loogika? Hulga definitsioon ei paista esmapilgul loogikat sisaldavat. Loogika enda definitsioon võiks olla: funktsioon, mis seab lausele vastavusse hulga {tõene, väär} ühe elemendi. Selle järgi oleks loogika sõltuv hulgast. Aga vaatame lähemalt. Hulga definitsioon on: midagi, mis sisaldab kordusteta järjestamata elemente ja ei ole iseenda element. Sisalduvus on jäetud defineerimata, eeldatakse, et igaüks kujundab reaalsuse vaatlemise põhjal oma arusaamise sellest. Hulga definitsioon paistab eeldavat, et olemise ja mitteolemise võib ühemõtteliselt määrata, et „on” ja „ei ole” on teineteist välistavad. See tuleneb vist küll loogikast. Võime ette kujutada loogika2-i, kus kõik laused võivad korraga võtta suvalist hulka tõeväärtusi. Jällegi põhineb eelnev arutlus loogikal.

Selleks, et probleemi lahendada, küsimusele vastata, on vaja mingit toetuspunkti ehk mingeid aksioome ja taustsüsteemi, kus esitatakse küsimus. See tekitab kohe küsimuse toetuspunktide ja taustsüsteemi õigsuse kohta – miks just need?

Ringsüsteem, iseendale toetuv objekt, ei vajaks aksioome ega ilmselt invariante. Sellise süsteemi üks omadusi oleks ilmselt vastuolude puudumine. Praeguses loogikasüsteemis puuduvad vastuolud, aga see toetub aksioomidele. Võiks öelda, et see on lineaarselt algav ja siis ringile minev süsteem – ei. Kanast tuleb muna ja munast tuleb kana, on vist ringsüsteemi näide. Ringsüsteemi võimatus meie universumis tuleneb sellest, et põhjuslikkuse ahelad ei saa joosta „tagurpidi” ehk hilisem sündmus ei saa põhjustada varasemat. Ringsüsteemiks peaks põhjuslikkuse ahela lõpp jõudma tagasi algusesse, ehk kusagil peab toimuma tagasiliikumine.

Võimalik, et tegelikult on universum või multiversum ringsüsteem, aga meile kui selle sees olijatele tundub, et see on lineaarne (suure ringi või kera sees istuvale putukale tundub see sirgjoone või tasandina). Aja liikumine miinus lõpmatusest pluss lõpmatusse on tegelikult ringliikumine (ring on topoloogiliselt vist ekvivalentne reaalteljega).

Ringsüsteemi olemasolu tekitab küsimuse, kus see ringsüsteem asub – millises taustsüsteemis? Võimalik, et küsimus on parima loogika2-ga võrreldes valesti püstitatud, aga praegusest loogikast lähtuvalt on alati võimalik iga vastuse kohta uus küsimus esitada.

Lihtsuse ja tõepära konverents

Lisa kommentaar

13.-15. novembril 2009 oli meil majandusteaduskonnas lihtsuse ja tõepära konverents (Workshop on simplicity and likelihood), organiseerijateks Itzhak Gilboa ja Larry Samuelson. Külalisi oli umbes kakskümmend.

Konverents oli huvitav segu ökonomeetria teooriast ja otsustusteooriast. Esinejate hulgas oli lisaks majandusteadlastele arvutiteadlasi, füüsikuid ja statistikuid. Teemad olid väga abstraktsed ja matemaatilised, seetõttu minu jaoks väga huvitavad. Reedel oli mul päev loengutega täidetud, nii et konverentsile jõudsin alles laupäeva hommikul.

Laupäeva esimene esineja oli Joe Halpern Cornellist. Ta rääkis põhjuslikkusest ja esitas selle matemaatilise kirjelduse, illustreerides seda näidetega filosoofiast ja õigusteadusest. Põhjuslikkus, süü ja vastutus on matemaatiliselt erinevad mõisted (vähemalt Halperni mudelis) ja üks kriteeriume põhjuste järjestamisel on, kui palju ebanormaalsemaks see maailma muudab. Halperni näited on järgnevad:

Billy ja Sue viskavad kividega pudelit. Mõlemad on täpse käega, aga Sue kivi jõuab esimesena kohale ja purustab pudeli. Billy kivi oleks selle ka purustanud, kui Sue oma selle terveks jätnud oleks. Nii et kui Sue poleks visanud, siis oleks pudel ikka purunenud. Kas võib öelda, et Sue kivivise on pudeli purunemise põhjus? (Jah)

Võrdluseks eelmisele näitele: kaks süütajat viskavad põleva tiku metsa. Ühe süütaja tulekahju suudavad päästjad kustutada, aga kui mets kahest otsast põleb, siis ei suuda. Nii et metsa mahapõlemiseks on vaja mõlema süütaja tikku. Kas võib öelda, et süütaja A on metsa mahapõlemise põhjustaja? (Ei) Kas abstraktne põhjuslikkuse struktuur selles ja eelmises näites on sama? (Ei) Kui metsa mahapõlemiseks piisab ainult ühe süütaja tikust ja mõlemad viskavad tiku, siis kas süütaja A on metsa mahapõlemise põhjustaja?

Billy haigestub mittesurmavasse haigusesse pühapäeval. Kui esmaspäeval tööl olev arst talle ravimit annab, on Billy teisipäeval terve. Kui esmaspäeva arst teda ei ravi, aga teisipäeva arst ravib, on Billy kolmapäeval terve. Üks ravimidoos ravib, aga kaks on surmav. Kas teisipäevase arsti mitteravimine on Billy kolmapäevase elusoleku põhjus? Aga esmaspäevase arsti mitteravimine?

Kas see, et ma sind ei tulista, on põhjus, miks sa elus oled?

Keskaegne kuningriik. Mõrtsukas plaanib kuningat mürgitada. Kuninga nõunik kahtlustab seda ja annab kuningale vastumürki. Mitmesugustel asjaoludel ei õnnestu mõrtsukal kuningale mürki anda. Kas vastumürgi andmine on kuninga elusolemise põhjus?

David Schmeidler rääkis aksiomaatilisest lähenemisest lihtsusele ja põhjuslikkusele. Sarnaselt paljude otsustusteooria artiklitega postuleeris Schmeidler aksioomid, mida reaalsuse kohta käivate mudelite paremusjärjestus peaks rahuldama ja tuletas neist selle järjestuse funktsionaalse kuju. Seda funktsiooni võib vaadelda ka kui mudeli valiku kriteeriumi.

David Wolpert NASAst rääkis oma tõestusest, et ka deterministlikus ja lõplikus universumis on Laplace’i hüpotees vale. Laplace väitis, et kui talle anda piisavalt infot praeguse kõigi osakeste asukoha ja liikumise kohta universumis, siis võib ta arvutada kogu universumi tuleviku ja mineviku. Meie reaalses universumis on Laplace’i hüpotees vale juba Heisenbergi määramatuse printsiibi kohaselt – pole võimalik samaaegselt ennustada osakese asukohta ja liikumist. Aga hüpoteetilises deterministlikus ja lõplikus universumis, nii nagu seda nähti Laplace’i ajal?

Wolpert alustas vaatluse ja ennustuse defineerimisega. Nende mõningaid ühiseid jooni koondava tegevuse nimetas ta järeldamiseks ja defineeris järeldusmasina – objekti, millele me võime esitada maailma kohta jah/ei küsimusi ja saada vastuseks ühe biti 0 või 1, vastavalt siis ei või jah. Järeldamine on nii vaatluse kui ennustuse jaoks tarvilik, aga mitte piisav. Wolperti põhiline teoreem oli, et iga sündmuse kohta eksisteerib järeldusmasin, mis suudab seda sündmust järeldada, aga iga järeldusmasina jaoks on olemas sündmus, mida see masin järeldada ei suuda.

Wolperti näited olid sarnase struktuuriga, mida matemaatikas nimetatakse Cantori diagonalisatsiooniargumendiks. Arvutiteaduses on sarnane olukord Turingi masina puhul – on olemas sündmus, et see masin peatub. Aga masin ei suuda vastata küsimusele, kas ta peatub.

Järeldusmasina puhul nimetagem V-ks nende maailma arenguteede hulka, kus masin homme vastab täna küsitud küsimusele jah. Homseks on need arenguteed natuke läbitud, nimetagem samade arenguteede hulka homme V’-ks. Masin ei suuda õigesti vastata küsimusele, kas me oleme homme väljaspool hulka V’. Kui masin ütleks jah, siis ta eksiks, sest kui ta ütleb jah, oleme me hulgas V’, aga küsimus oli, kas me oleme väljaspool seda hulka. Kui masin ütleks ei, siis ta eksiks, sest me oleme nüüd väljaspool hulka V’ ja küsimus oli, kas me oleme väljaspool seda hulka.

Kuna ükski järeldusmasin ei suuda kõigile maailma kohta käivatele küsimustele õigesti vastata, siis ei ole olemas masinat, mis suudaks ennustada kogu universumi tulevikku. Kaval inimene võib küsida, et kui iga sündmuse kohta on masin, mis suudab seda ennustada, siis kas me ei võiks võtta piisavalt palju erinevaid masinaid ja lasta igal neist ennustada jupikest universumit, saades kokku kogu tuleviku ennustuse. Veel kavalam vastaks sellele, et igasuguse masinate kogumi võime me ümber nimetada üheks masinaks, seega eelnev võimatusteoreem kehtib.

Pühapäeva esimese esineja Andrew Barroni teema oli informatsiooniteooria, lihtsus ja tõepära. Ta rääkis, et andmehulga keerukust võib vaadelda kui bittide arvu, mida selle üksüheseks edasiandmiseks vaja läheb. See on arvutiteaduses kaua teada olnud. Barroni uudne väide oli, et tõenäosust võib samuti vaadelda kui bittide arvu koodis ja kodeerimisviise kui tõenäosusjaotusi. Ta rakendas seda vaatepunkti masinõppimise näitele.

Masinõppimisel antakse arvutile kõigepealt mingi treeningandmehulk, mis on võetud mingist tõenäosusjaotusest. Selle põhjal peab masin ennustama andmeid mingist teisest tõenäosusjaotusest ehk üldistama oma varasemat teadmist. Inimestele on see tavaline tegevus, aga arvutite puhul on sellise üldistusvõime tekitamine keeruline.

Aris Spanos rääkis mudelite valikust andmete seletamiseks. Statistikud ja ökonomeetrikud kasutavad enamjaolt lähendamisteooriat ja püüavad leida mudelit, mis kõige paremini andmetele vastab. Spanose kohaselt on see vale lähenemine ja tal oli palju näiteid, kus sellega valesid tulemusi saadakse. Oluline pole Spanose sõnul mitte lähenduse täpsus ehk väike vahe mudeli ja andmete vahel, vaid selle vahe (mudeli jäägi, model residual) mittesüstemaatilisus. Näiteks n andmepunkti võime me lähendada (n-1) järku polünoomiga ja saada täpse vastavuse, aga see mudel on ennustuste või järelduste seisukohast väärtusetu.

Statistilisi mudelivalikukriteeriume rakendatakse eelnevalt valitud mudelite klassis. Kui see klass on aga valesti valitud, siis valikukriteeriumi rakendamine selle sees annab vale tulemuse. Iga mudeli puhul peaks kontrollima selle statistiliste eelduste täidetust ja kui need pole täidetud, siis valima mõne muu mudeli hoolimata sellest, kui lähedane antud mudel andmetele on.

Larry Samuelson rääkis inimeste lihtsuse-eelistustest. Näiteks rida 010101 jätkaks enamik inimesi paariga 01 ja rida 1,2,4,8 arvuga 16. Aga on palju teisi mudeleid, mis sobiksid nende ridade algusega ja annaksid järgnevaks tulemuseks hoopis midagi muud. Nii et miks siis on inimeste hulgas kujunenud selline komme või norm, et rida 010101 tuleks jätkata paariga 01?

Samuelsoni vastuseks oli lihtsus. Kuna konverentsi jooksul oli esitatud palju erinevaid lihtsuse ja keerukuse definitsioone, ei hoidnud ka Samuelson end tagasi ja kasutas enda oma. Tema põhiline tulemus oli lihtsuse-eelistuste matemaatilise vormi esitamine. Kõigepealt valib otsustaja erinevate andmeid kirjeldavate mudelite vahel nende tõepära järgi ja seejärel viiki jäänud parimate mudelite vahel nende lihtsuse järgi. Tuleb välja, et niimoodi objektiivsele valikule subjektiivsust lisades saadakse parem tulemus, kui ainult objektiivset tõepärakriteeriumi kasutades.

Gödelit tsiteeritakse lepinguteoorias

Lisa kommentaar

Üllatusega nägin, et Econometricas on vastuvõetud artiklite hulgas Petersi ja Szentesi lepinguteooria artikkel, kus kasutatakse Gödeli kodeeringut ja esimest järku loogikat. Artikkel kirjeldab lõpmatut regressi lepingute hulgas, mis tekib sarnaselt uskumuste hierarhiatele – mitme majandusagendi omavahelistes lepingutes võivad olla teiste agentide lepingutele viitavad klauslid. Teiste lepingutes omakorda esimesest lepingust sõltuvad punktid. Nii et üks leping sõltub teisest, mis sõltub esimesest, mis sõltub teisest…
Peters ja Szentes kirjeldavad, milliste tasakaaludeni on võimalik üksteisest sõltuvate lepingute abil jõuda. Tõestuses esitavad nad iga võimalikku lepinguteksti naturaalarvuna (see esitus on Gödeli kodeering) ja lepingutekstid on kirjutatud esimest järku loogika süntaksis (saavad sisaldada aritmeetilisi tehteid ja kvantifikatsiooni). Iga leping on defineeritav funktsioon kõigi lepingute hulgast kõigi agentide valikuprofiilide hulka.

Ebakindluse liigid

Lisa kommentaar

Kirjutan natuke enda uurimistöö taustast. Püüan matemaatiliselt kirjeldada teadmatust, mis on üks ebakindluse liike. Majandusteadus on kaua uurinud riski, mis on kirjeldatav tõenäosusjaotusega üle teadaolevate tulemuste. See on kõige laiemalt tuntud ebakindluse liik.

Viimase veerandsajandi jooksul on majanduses riskile lisandunud ebamäärasus (ambiguity, tõlgitav ka mitmemõttelisusena), mille puhul on võimalikud tulemused teada, aga tõenäosused mitte. Selle asemel on teada tõenäosusjaotuste hulk või mingi tõenäosuse üldistus, näiteks mahtuvus (minu tõlge sõnast capacity, täpset matemaatikaterminit eesti keeles ei tea). Nii riski kui ebamäärasuse puhul teab otsustaja, et ta ei tea ja mida täpselt ta ei tea.

Loogikas hakati kaheksakümnendate lõpus ja majanduses üheksakümnendate lõpus uurima teadmatust (unawareness), mis on ebakindluse liik, mille puhul pole teada kõik võimalikud tulemused. Teadmatuse all kannatav otsustaja mudelis ei tea, et ta ei tea ja mida ta ei tea.

2009. aastal lisandus kolmele eelnimetatud ebakindluse liigile veel eneseteadlik teadmatus (self-aware unawareness), mille puhul otsustaja teab, et on olemas midagi, mida ta ei tea, aga ta ei tea täpselt, mis see on. Eneseteadlik teadmatus on tavalise teadmatuse ja ebamäärasuse vahepealne mõiste, kuna otsustaja teab, et ta ei tea, aga ei tea, mida ta ei tea.

Tavaline teadmatus on otsustaja enda vaatepunktist nagu teadmatuse puudumine – ta arvab, et teab kõiki tulemusi ja ainus ebakindlus tuleb riskist ja ebamäärasusest. Järelikult käitub ta, nagu tavaliselt sellise teadmise korral. Ainult modelleerija vaatepunktist on mudelis oleva agendi uskumused valed.

Eneseteadliku teadmatuse puhul muudab agent mudelis ilmselt oma käitumist, kuna tema vaatepunktist erineb olukord tavalisest riski ja ebamäärasusega otsustusprobleemist.