Monthly Archives: February 2018

Mida peaks matemaatikas õpetama

Kõige parem oleks igasugusele „mida peaks õpetama” küsimusele vastata empiiriliselt, ehk leida, mis teadmised teevad õpilase hiljem edukaks (mingi edukriteeriumi järgi), aga minu teada selliseks empiiriliseks uurimuseks vajalikke andmeid saada pole. Nii et spekuleerin teoreetiliselt.
1) Propositsooniline loogika ja kvantorid, ning sellele vastav hulgateooria. Rakendus: kuidas leida vastuolulisi väiteid tekstis, kuidas vältida loogika ja hulgateooria abil psühholoogiast ja käitumisökonoomikast tuttavaid otsustusvigu (Linda efekt; inimesed on nõus maksma suurem summa, et kindlustada end terrorismist põhjustatud surma vastu kui igasuguse surma vastu; inimesed reageerivad erinevalt kirjeldustele „kolmandik sureb” ja „kaks kolmandikku elab”).
2) Bayesi reegel (propositsiooniline loogika on Bayesi reegli erijuht). Algteadmise Bayesi reeglist saaks lastele anda juba siis, kui nad veel numbreid ei tunne. Näiteks joonistada neljaks jagatud ruut, kus read on „sündmus toimus” ja „ei toimunud” ning veerud „signaal näitas, et toimus” ja „signaal näitas, et ei toimunud”. Liigutades vertikaalset joont neljaks jagatud ruudus vasakule või paremale, muudame esimest ja teist tüüpi vea tõenäosust. Rakendus: tõenäosusega seotud otsustusvigade vältimine (väikeste arvude seadus, mündiviskel kolme kulli järel peab tulema kiri, Monty Halli probleem).
3) Statistika alused (põhineb Bayesi reeglil). Rõhk mitteparameetrilisel statistikal ja kliiniliste katsete tõlgendamisel, mitte vähimruutude meetodil (OLSil). Rakendus: kuidas ära tunda vigast või tahtlikult väärjäreldusele suunavat statistikat; valimi suurus ja parameetri hinnangu jaotus. Usaldusnivoo tuletamine ainult jaotuse kaudu, mitte asjana iseeneses.
4) Isiklik rahandus ja arvestus, sealhulgas liitintress, protsendid, astmeline maksusüsteem, neto- ja brutopalk.
5) Peastarvutamine poeskäimisel, sealhulgas hinna arvutamine massi- või mahuühiku kohta eri suurusega pakendite puhul, täpse vahetusraha arvutamine, kontsentraadi ja lahjendatud mahla või pesuvahendi hinnavõrdlus.
6) Lähendamine arvutustes, eriti peastarvutamisel, aga ka arvutiga numbriliselt lahendades. Rakendus: ülesande väga vale vastuse äratundmine.
7) Matemaatika rakendused teistes teadusvaldkondades (http://www.sanderheinsalu.com/ajaveeb/?p=101).
8) Optimeerimine ja mikroökonoomika alused. Riski ja kindlustuse mõistmine, eri kaupade piirkasulikkuste võrdsus, optimaalse piirkulu võrdumine piirtuluga.
9) Kuidas eristada küsimusi, mida lahendada peast, paberi ja pliiatsi matemaatikaga või arvutiga. Kuidas küsimust arvuti jaoks sobivasse vormi teisendada ja siis arvutil lahendada (www.computerbasedmath.org).
Kui on paika pandud, mida õpetada, siis saab vastata küsimusele, kuidas õpetada.
Mängude kaudu õpetamine paistab empiiriliselt olevat edukas. Mängude kaudu saaks õpetada isiklikku rahandust ja arvestust, näiteks lisada laenamine-säästmine-investeerimine ja maksud Sims tüüpi mängu, kus tuleb juhtida inimese igapäevast elu. Sinna saab lisada ka petlikud finantspakkumised, mis püüavad mängijat raha kaotama panna (Nigeeria kirjad, kiirlaenud, kasiino ja loterii, bruto- ja netopalga vahega mängimine, kõrgema palgaga elukohas on elukallidus suurem).
Lähendamise arvutimänguga õpetamiseks võib sobida sõjaline tulejuhtimine: antakse sihtmärgi kaugus, tuule suund, mürsu algkiirus jms, ning mängija peab valima, kuhu sihtida, sisestades arvulised koordinaadid. Sisestamise kiirus loeb, seega ei saa täpselt arvutada, vaid peab lähendama. Samuti saab teha mängu, kus peab arvutama, kas lennuk suudab teatud pommikaalu ja kütusehulgaga sihtmärgini ja tagasi jõuda, või kui suure pommikaalu lennukile antud kauguse, kütusekulu ja kütusehulga juures võib peale laduda.
Poeskäimisega seotud peastarvutamise õpetamiseks võib teha võistlusliku mängu, kus mängijad mõtlevad välja erinevaid tootepakkumisi (hind, kogus, kontsentratsioon, erinevate toodete ühes pakis müümine) ja peavad valima teiste mängijate erinevate pakkumiste vahel. Võidab see, kes kulutab nõutud ostukorvi peale kõige vähem raha ja suudab oma pakkumistega panna teised kõige rohkem raha kulutama (ehk suunata teised valedele otsustele). Kiirem otsustamine annab rohkem punkte, nii et tuleb arvutada kiiresti, peast ja lähendades.

Tootmine on negatiivne tarbimine

Tavaliselt mõeldakse tootmisest ja tarbimisest kui kvalitatiivselt erinevatest nähtustest, aga majandusmudelis pole teiste agentide jaoks vahet, kas üks agent tarbib mingit kaupa ühe ühiku vähem või toodab seda kaupa ühe ühiku rohkem. Nende jaoks on tulemus ainult, et kaupa on ringluses üks ühik rohkem. Tootmine on negatiivne tarbimine ja vastupidi.
Matemaatiliselt, olgu isikul R ühikut raha ja K kaupa ning ülejäänud ühiskonnal R2 raha ja K2 kaupa. Kui isik nii tarbib kui toodab N ühikut kaupa, siis on tulemus sama, mis tarbides ja tootes null, või mingi teine arv N2 ühikuid kaupa. Kui isik ostab M rahaühiku eest N ühikut kaupa ja tarbib ainult need kaubad, siis on tal R-M raha ja K kaupa ning ühiskonnal R2+M raha ja K2-N kaupa. Kui isik nüüd toodab N ühikut ja müüb need M eest, siis on olukord alguses tagasi.
Näiteks uusima tehnikavidina ostmata jätmine on ülejäänud ühiskonna jaoks sama, mis selle vidina ise tootmine ja turuhinnaga müüki panek. Tulemus on ikka, et ostmata jätjal on raha rohkem ja ülejäänutel vähem, aga see-eest on ostmata jätjal kaupa vähem ja turul seda rohkem. Eriti lihtne on seda näha teenuste puhul – muru niita või kodu koristada saab ise, aga saab ka seda teenust osta. Laenu mittevõtmine on nagu laenuintressiga säästmine (üldiselt on säästuintress madalam kui laenu oma).
Tehnoloogiliselt pole tootmine ja tarbimine sümmeetrilised – kaubast A kaupa B teha võib olla lihtsam kui vastupidi. Iga inimene suudab saiast sõnnikut toota, aga vastupidi on raskem. Mõnda sisendit saab ainult tarbida, mitte juurde toota – aega näiteks. Majanduslikult on tegevuse tootmiseks või tarbimiseks lugemine kokkuleppeline – sõltub koguse nullpunkti valikust inimeste peades. Kui “vaikimisi olek” on x ühiku kauba tootmine (see loetakse nullpunktiks), siis x-1 ühiku tootmine nullist ühikust alustades on nagu ühe ühiku tarbimine x-ist alustades.
Tootmist negatiivse tarbimisena nähes ei tule üllatusena vanasõna, et rikkaks ei tee mitte sissetulekute suurus vaid väljaminekute vähesus. Läbimõeldud tarbimisotsused on aidanud inimesi alla 10 aasta töö järel rantjeeks saada ja ülejäänud elu säästudest elada (http://www.mrmoneymustache.com/2012/10/24/frugal-vs-cheap/). Ekstreemsemad suudavad ka 5 aastaga (http://earlyretirementextreme.com/).
Maksud on negatiivsed toetused ja toetused on negatiivsed maksud. Vahel jääb see valijatel kahe silma vahele ja kui poliitikud lubavad nii makse kui toetusi korraga tõsta või langetada, ei tee valijad vajalikku lahutustehet.

Teadlase ja juhi omaduste vastandlikkus

Ideaalse teadlase ja juhi omadused paistavad teatud määral vastandlikud. Juhi puhul võib isegi vale otsus olla parem otsustamatusest. Ideaalses teadustöös otsitakse tõde ja tunnistatakse oma teadmatust. Juhtimisel võib rääkimine „ühest küljest ja teisest küljest“ stiilis olla nõrkuse märk, aga teaduses peaks loetlema kõik olulised tegurid, nii enda seisukoha poolt kui vastu. Juhtimisel on vaja kiireid otsuseid, vahel pole aega kõiki tegureid kaaluda. Teaduses peaks kõige olulisega arvestama. Juhtimiseks on vaja enesekindlust, teadustööks kahtlemist kõiges, sealhulgas enda arvamuse õigsuses.
Empiiriliselt on enesekindlamad inimesed edukamad ja tõusevad suurema tõenäosusega juhiks. Endast hästi arvavad inimesed ei pruugi näha vajadust palju haridust omandada, sest nad on (enda arvates) niigi targad. Seega ei omanda nad teadlase kvalifikatsiooni. Lisaks on teadustöö suhteliselt madalapalgaline ja enesekindlad arvavad, et väärivad kõrget palka.
Empiiriliselt on kooliajal ilusa välimusega inimesed edasises elus enesekindlamad. Ilu teeb inimese populaarseks, mis tõstab enesekindlust. Ilusatel on ka palju meelelahutusvõimalusi, mis ilmselt on kiusatus, mis segab hariduse omandamist.
Austraalia ülikoolides paistab olevat negatiivne korrelatsioon teadusedu ja juhtimise vahel, ehk inimesed, kellel teadustöö halvasti läheb, hakkavad või pannakse administratiivtööle (juhtivatele kohtadele). Nii näiteks oli Austraalia Rahvusülikooli majandus- ja ärikooli üle-eelmine dekaan (kes praegu on kogu ülikooli rahvusvahelise turunduse/suhtekorralduse juht) vanemlektor akadeemiliselt oluliselt nõrgemast ülikoolist. Dekaan juhib siin teaduskondade juhte, kes juhivad professoreid. Mitu inimest ülikooli tippjuhtkonnast on sinna tulnud otse üsna viletsa mainega ülikoolidest.
Võimalik, et inimeste teadusvõimekuse ja juhiomaduste vahel on negatiivne korrelatsioon, misjuhul ei tohikski teadlasi juhiks panna. Kui, siis eelistada viletsaid teadlasi. Enamik akadeemilisi inimesi arvab siiski, et teadlasi peaksid juhtima teadlased ning et vähemalt teadusjuhtimisvõime ja teadusvõime korrelatsioon on positiivne.

Rumaluse kultuur Eesti koolis

Mäletan enda kooliajast Tallinna Inglise Kolledžis rumaluse kultuuri: peale kontrolltööd kiideldi, kui vähe selleks õpiti ja kui halvasti kontrolltöö ikka läks. Heade õpitulemustega lapsi nimetati nohikuteks ja eirati või kiusati, olenevalt sellest, kas nad olid kiusamiseks liiga tugevad. Samas isa rääkis, et tema koolis omal ajal oli häbi olla loll, kuigi ei pidanud olema tark. Oletan, et kooli ja klassi kultuur, täpsemalt heade ja halbade õpilaste sotsiaalne staatus sõltub targimate ja rumalaimate suhtelisest karismaatilisusest. Teised lapsed jäljendavad populaarseid, nii et kui populaarseimad lapsed on targad, siis võibolla tekib tarkuse kultuur ja on auasi olla hea õpilane. Aga kui popid kujud on rumalad, siis loovad nad rumaluse kultuuri. Inimesed üldiselt üritavad muuta norme ja reegleid endale soodsamaks ning teha enda käitumine normkäitumiseks. Näiteks rumalad karistavad tarku ja üritavad nende sotsiaalset staatust alla tõmmata, sest muidu paneb võrdlus rumalaid end halvasti tundma (Benabou+Tirole2011 http://idei.fr/doc/by/tirole/identity2010_june.pdf).
Kultuuri saab muuta, suurendades soovitavate omadustega inimeste populaarsust ja autoriteeti. Siis hakatakse neid jäljendama ja nende arvamus levib. Sõltub olukorrast, mis vahendid inimeste populaarsust tõstavad. Näiteks ametliku võimu andmine võib inimese mitteametlikku autoriteeti suurendada või vähendada, viimast juhul kui üldine kultuur vastustab ametlikku võimu. Kuulsin hiinlasest tuttavalt, et Hiina koolisüsteemis pannakse parimad õpilased klassi „juhiks”, mis on ihaldatav tunnustus. Ilmselt on selle tunnustuse eesmärk ametliku autoriteedi andmise kaudu tarkuse prestiiži tõsta.
Eestis võivad õpilased olla rohkem võimuvastased, nii et õpetaja ametlik tunnustus teeb õpilase ebapopulaarseks (Tallinna Inglise Kolledžis minu ajal küll). Sellisel juhul klassi juhiks nimetamine vähendab lapse populaarsust ja toetab rumaluse kultuuri. On teisi meetodeid inimese staatuse tõstmiseks. Näiteks kui rikkad on populaarsed, siis olulise rahalise preemia saamine suurendab inimese autoriteeti. Koolis tarkade populariseerimiseks võib anda olümpiaadivõitjatele arvestatava suurusega auhinnaraha. Probleem on, et rikkad vanemad võivad selle summa „üle pakkuda” ja oma lapse klassi kõige rikkamaks ja seega popimaks teha. Siis tekib rahakultuur, mitte tarkuse kultuur.
Soovitavate omadustega inimeste autoriteedi tõstmine on mõjutustegevus, mis peab efektiivne olemiseks kohanema oludega. Koolis rumaluse kultuuri kaotamise üldpõhimõte on, et tarkus tuleb võrdsustada sellise eduga, mida lapsed ihaldavad. Siis hakkavad nad ka tarkust ihaldama. Minu koolis oli vastupidi – head õpilased pidid kohustuslikus korras olümpiaadidel osalema, mis tähendas puhkepäeva kaotust ja asendamist sisuliselt koolipäevaga. Lisaks tekitas olümpiaadile valimine nohikumaine ja vähendas populaarsust.

Politseisse helistamise mäng

Huvitav näide mänguteooriast: palju inimesi näeb kuritegu ja kõigil on telefon. Kõik eelistavad, et keegi teine helistaks politseisse (selle asemel, et ise helistada), sest ise helistamine võtab aega ja politsei võib paluda helistajal kohale jääda, et tunnistajaks olla. Aga kõik on korralikud kodanikud ja eelistavad ise helistamist olukorrale, kus mitte keegi ei helista.
Mis on selle mängu tulemus? Tasakaal ei saa olla puhastes strateegiates ja sümmeetriline, sest kui keegi ei helista, siis kõik eelistavad helistada. Kui kõik helistavad, siis igaüks eelistab mitte helistada. On palju asümmeetrilisi puhtaid tasakaale, kus üks konkreetne inimene helistab ja teised mitte. Aga eeldus, et inimesed suudavad niimoodi asümmeetriliselt koostööd teha tundub ebaloogiline. Sümmeetriline tasakaal peab olema segastrateegiates, ehk iga inimene helistab teatud tõenäosusega.
Kuidas muutub tõenäosus pealtnägijate arvu kasvades? Iga inimene helistab muidugi väiksema tõenäosusega, sest teisi potentsiaalseid helistajaid on rohkem. Üllatav tulemus on aga, et summaarne helistamistõenäosus (tõenäosus, et keegi helistab) langeb helistajate arvuga. Mida rohkem pealtnägijaid, seda vähemtõenäoline on, asjast politseisse teatatakse. Seda olukorda peegeldab Terry Pratchetti tsitaat „everybody’s problem, therefore not my problem”.

Miks enesekindlamad inimesed juhtideks saavad

Teoreetiline mudel: igaüks saab signaali enda pädevuse kohta ja positiivne signaal muudab inimese enesekindlamaks. Teised ei tea, mis signaali inimene sai, aga tahavad kõige pädevamat juhiks. Inimese enesekindlus on teistele näha. Teised loevad enesekindlust signaaliks inimese pädevussignaali kohta ja ratsionaalselt valivad juhiks kõrge signaaliga inimese, ehk enesekindla.

Evolutsioonilised protsessid

Evolutsiooniline protsess tähendab siin kooslust mutatsioonist, paljunemisest ja valikust. Organismide evolutsioon on üks näide, kus mutatsioon geenides on juhuslike keemiliste reaktsioonide tagajärg, organismid paljunevad ja looduslik valik jätab neist ainult mõned ellu. Aga evolutsiooniline protsess toimib ka meemide (kultuuriliste „geenide”) arengus. Sõjakunst arenes, kuna inimesed leiutasid uusi võitlustehnikaid (mutatsioon), õppisid teiste inimeste tehnikaid (tehnikad „paljunesid”) ja valisid efektiivsed tehnikad, unustades ebaefektiivsed (tehnikaid tabas „looduslik valik”). Sarnaselt arenes kaasaegne relvavaba võitluskunst MMA, kus väheste reeglitega võistlustel selgusid efektiivsed tehnikad, mis siis levisid ja mida inimesed modifitseerisid.
Samamoodi toimub evolutsiooniline protsess manipulatsioonitehnikates: neid leiutatakse, õpitakse ja valitakse. Manipulatsioonitehnikate kooslus (näiteks usund, poliitiline ideoloogia) omakorda on nagu genoom – kooslus areneb koos, ja selle kahjulikud osad võivad kasulikel osadel „jänest sõita”. Susan Blackmore’i raamat „Meemimasin” kirjeldab meemide evolutsioonilist protsessi pikalt. See protsess on teatud määral juhuslik (mutatsioon, paljunemine ja valik on kõik pisut juhuslikud), aga siiski osaliselt ennustatav, sest teatud omadustega meemid levivad suurema tõenäosusega. Näiteks usk, mis lubab enda järgijatele paradiisi ja mittejärgijatele põrgut, levib kiiremini kui usk, mis lubab vastupidist. Usk, mis keelab endast taganeda ja teise usku pöörduda, jääb suurema tõenäosusega valikus alles.
Poliitikud jäljendavad teisi võimule toonud vahendeid ja juttu (paljunemine), unustavad ebaefektiivsed meetodid (valik) ja leiutavad uut poliittehnoloogiat (mutatsioon). Poliitiline ideoloogia, mille tegelik eesmärk on valituks osutuda, tuleb võimule tõenäolisemalt kui ideoloogia, mis tahab rahvale head teha. Poliitilist programmi, mis väidab, et tahab rahvale head, valitakse rohkem kui sellist, mis heategemist ei väida. Ideoloogia, mis on täiesti aus, jääb alla ideoloogiale, mis kasutab eesmärkide saavutamiseks nii valet kui tõde, vastavalt sellele kumb on hetkel kasulikum.

Eksootika müüb

Inimestele meeldib eksootika: selle abil müüvad end eurooplastele-ameeriklastele aasia võitluskunstid, hiina alternatiivmeditsiin (http://www.sanderheinsalu.com/ajaveeb/?p=105), tai massaaž jne. Nende teenuste turundajad räägivad tuhandete aastate vanusest salatarkusest, mida ainult praegu ainult Sulle avaldatakse, raha eest muidugi. Tegelikult on inimesed üle maailma üsna sarnased ja nende leiutised samuti – Euroopas arendatud rusikavõitlust nimetatakse poksiks ja pankrationiks, Jaapani oma karateks, Euroopa maadlust nimetatakse kreeka-rooma või vabamaadluseks, Jaapani oma judoks, kaikavõitlus arenes nii Euroopas kui Kaug-Idas. Rüütlitel olid Euroopas oma mõõgavõitlustehnikad, sarnaselt Jaapani mõõgakunstile kendole, jne. Kultuuriliselt oluliste loomade kehaosadest ja mitmesugustest taimedest „ravimeid” müüdi keskaegses Euroopas (ja natuke ka praegu), nagu ka kogu ülejäänud maailmas. Seega eksootika pole midagi erilist, ainult samade põhimõtete pisut erinev rakendus. Kui aasialased oleksid kiiremini suhteliselt odavad ja töökindlad püssirohurelvad arendanud ja eurooplaste asemel maailma vallutanud, müüksid eurooplaste võitluskunstid ja meditsiin end praegu aasialastele samuti eksootika ja iidse salatarkuse jutu abil.

Tsivilisatsioon ja rakk

Keeruliste biomolekulide süntees keemilistest elementidest on sarnane paljude sammudega protsess nagu keeruliste tehnoloogiliste vidinate tootmine naftast ja maakidest. Kui võtta iga asja tootmissammude arvuks tööriistade abil selle tootmise sammud pluss nende tööriistade tootmissammude arv pluss tööriistade tootmise tööriistade tootmise sammud, jne, siis tänapäevaste vidinate tootmiseks läheb tuhandeid samme. Teisest suunast: alustades paljaste kätega, tehakse kõigepealt looduses leiduvatest toorainetest asju, siis kasutatakse neid lihtsaid tööriistu järgmiste asjade valmistamiseks, jne. Samamoodi tuleb keeruliste biomolekulide tootmisel esmalt sünteesida lihtsad ained, siis nende abil keerulisemad, nendest veel keerulisemad, jne. Kõrgelt arenenud tsivilisatsiooni koloonia tühjal maatükil muutub varsti sarnaseks tsivilisatsiooniks, sest neil on juba tööriistad olemas, millega uusi tööriistu ja vidinaid teha. Samuti saab ka rakk teha endast koopia, mis hakkab kohe keerulisi biomolekule tootma. Üksik molekul rakust seda ei suuda, nagu ka üksik inimene ei suuda arenenud ühiskonda püsti panna. Nii tsivilisatsiooni kui raku koopia ei pea alustama nullist, vaid saab kasutada varem loodud tööriistu või biomolekule, mille abil uute sarnaste tootmine võtab vaid paar tootmissammu.
Tsivilisatsioon on nagu organism – suudab rohkem kui osade summa. Selle osad eraldi tühjas kohas pole eluvõimelised. Organismide kooslust käsitleb ühtse organismina superorganismi teooria.

Vacation is a break from the routine

Marketing tries to create the perception that vacation consists of consuming goods and services. In my experience, some of the most interesting vacation activities are those that constitute work for some other people. In other words, production, not consumption, is restful. For example, I find fixing bicycles interesting, because the problems encountered are quite different from each other. If the fixes only consisted of patching flat tires, then that would get boring quickly. Similarly, if I had to fix bikes all day long, it would be onerous. But as an occasional break from my usual work (sitting behind a computer), bike repair is interesting and actually restful. Another example is planting trees and removing invasive plants from a woodland – this would get boring and tiring after half a day, but 2-3 hours every few months provides variety. Growing vegetables and fruit is a productive activity that many people do for fun in their garden. Cooking for others is also productive and often done for fun.
I would pay to operate a tractor, an excavator or a crane for a few hours, because I think it would be very interesting. Unfortunately, safety regulations probably forbid an amateur from operating heavy machinery. For the same reason, I cannot drive a truck or weld a ship for fun. Neither can I be an assistant at surgery, handing tools to surgeons, because the job requires training and probably some kind of licence. If it didn’t, I would be interested in observing a surgery first hand. Underground mining would also be interesting to try.
Some work is legal for (mostly) untrained people to undertake, but requires a long-term commitment, for example being a deckhand on a commercial fishing ship. After the first day, the work would get boring, so would not constitute vacation any more. The same may happen after a few days as a field research assistant of biologists, archaeologists or anthropologists in remote areas. The remote area may have its own discomforts and dangers, which are mostly not adrenaline-rich experiences that extreme sports fans would pay for. An example of a boring danger is catching a disease, getting heatstroke or frostbite.
A person who does the abovementioned activities for work would not find them restful. But quite possibly, such a person would find parts of my work fun and would be willing to do them briefly during vacation, for example drawing graphs on a computer or solving a math puzzle.
In summary, a vacation is a break from the routine. Because people’s routines differ, one person’s usual work is another’s interesting vacation activity.