Rubriigiarhiiv: Abstraktsed pisiasjad

Arvutiajastu hindamissüsteemist

Tudengi hindamisel ülikoolis on probleem see, et tahaksime teada nii tudengi andekuse ja töökuse kombinatsiooni kui ka aine raskust, aga vaadeldav on ainult üks number – hinne. Kuna hinne H sõltub nii andekusest A kui aine raskusest R (näiteks funktsioonina H=A-R), ei saa andekust ja raskust ainult hinde põhjal eristada. Pole võimalik ühe võrrandi põhjal leida kahte muutujat.

Probleem leeveneb, kui vaadeldav on mitme tudengi hinne mitmes aines. Näiteks kui kaks tudengit, A ja B, võtavad mõlemad aineid C ja D, siis on meil vaatlustena neli hinnet ja tahame leida kahe tudengi andekust ja kahe aine raskust. Seega on meil neli võrrandit nelja tundmatuga ja ülesanne on lahendatav.

Kui tudengid valivad oma ained nii, et maksimeerida oma keskmist hinnet, siis tekib uus probleem – kui ainete raskused või hindamispõhimõtted pole teada, ei saa keskmise hinde põhjal tudengi andekust mõõta. Üks võtab lihtsaid aineid ja saab kõrge keskmise hinde, teine raskeid aineid ja saab madala keskmise hinde, aga andekus on sama. Seda kallutatust on püütud leevendada suhtelise hindamisega, mille korral näiteks parimad 10% aines saavad A, järgmised 20% B jne. Kui aine on raske, saavad kõik tudengid madala absoluutpunktisumma, aga kuna hinne tekib suhtelise punktisumma põhjal (näiteks jagatakse kõigi punktisumma aine parima tulemusega), siis on raske aine keskmine hinne sama, mis lihtsas aines.

Siit tekib aga uus mure, sest tudengid võivad püüda valida aineid, kus ülejäänud tudengid on keskmisest viletsamad. On lihtsam saada teistest paremat tulemust, kui teised on nõrgad. Kui tahame teada tudengi andekust, tuleb hinnet selle kallaku võrra korrigeerida, näiteks võttes arvesse teiste seda ainet võtvate tudengite keskmist hinnet (absoluutset või suhtelist) ülejäänud ainetes. Kui teised on nõrgad, on nende keskmine hinne muudes ainetes madal.

Aga siit tekib järgmine probleem, sest hinnet maksimeerivad tudengid tahavad võtta aineid, kus teised tudengid on keskmisest viletsamad ja võtavad aineid, mis on kas lihtsad või kus teised tudengid on samuti keskmisest viletsamad. Tundub, et iga probleemi lahendades tekib sellest uus probleem, ehk tegu on lõpmatu probleemijadaga. Igal lõplikul hinde korrigeerimise tasemel süsteemi on võimalik manipuleerida, püsides selle korrigeerimistasemest ühe sammu võrra ees – absoluuthinde puhul võttes lihtsaid aineid, suhtelise hinde puhul võttes rumalate tudengitega aineid, teiste hindega korrigeerimise puhul võttes aineid rumalate tudengitega, kes võtavad teisi lihtsaid aineid või teisi aineid rumalate tudengitega.

Kõiki ülaltoodud hindemanipulatsiooni probleeme saab lahendada korraga, tehes kõik korrigeerimised korraga. Sarnane probleem on ammu lahendatud otsingumootorite poolt – kõik veebilehed tahavad näida populaarsed, seega kuidas leida tegelikult populaarseid veebilehti. Üks võimalus oleks lugeda populaarseks need veebilehed, millele viitab palju teisi lehti. Aga siis tekiks veebilehe pidajatel motivatsioon luua palju võltsveebilehti, mis viitavad nende veebilehele. Võttes arvesse viitavate veebilehtede populaarsust, püsiksid veebilehtede omanikud ühe sammu ees, kui looksid võltsveebilehti, mis viitavad teistele võltsveebilehtedele, mis viitavad nende veebilehele. Ja viitavatele veebilehtedele viitavate veebilehtede populaarsuse arvesse võtmisel tehtaks veel üks samm edasi ja tõstetaks kunstlikult viitavatele veebilehtedele viitavate veebilehtede populaarsust.

Lahendus on korraga võtta arvesse kogu süsteemi. Veebilehtede puhul kogu veebilehtede ja linkide võrgustikku, tudengite hindamise puhul kogu tudengite ja ainete võrgustikku. Viimase puhul on tegemist kaht tüüpi sõlmedega võrgustikuga (bipartite graph), kus tudengid ja ained on võrgustiku sõlmed ning tudengi ja aine vahel on side, kui tudeng võtab seda ainet. Hindamise jaoks on vaid tarvis kõigi tudengite absoluutpunktisummadele kõigis ainetes rakendada veebilehtede populaarsusjärjestusse paneku algoritmi sarnast programmi. Kõigist hinnetest korraga on võimalik välja arvutada kõigi ainete raskused ja kõigi tudengite andekused, kui iga tudeng võtab vähemalt kaht ainet ja iga ainet võtab vähemalt kaks tudengit.

Realistlikkusest jääb ülaltoodud mudelil muidugi kõvasti puudu. Eeldusteks on ühemõõtmeline andekus, tudengite omavaheliste vastasmõjude ja tudengi-aine vastasmõjude puudumine, ainete valik vaid keskmise hinde maksimeerimiseks. Siiski, ühegi eelneva eelduse väärus ei tundu tekitavat kogu ülikooli hindeinfot arvesse võtva hindamissüsteemi kasutamisel negatiivset efekti.

Otsingumootorite konkurents

Mõtlen teadustöös praegu otsingumootorite oligopoli mänguteoreetilise modelleerimise peale, et laiendada Athey ja Ellisoni 2011 QJE-s avaldatud mudelit ühelt otsimootorilt mitmele. Tundub, et on raske tasakaaluna saavutada olukorda, kus mitu otsingumootorit koos eksisteerivad. Võib muidugi eeldada, et erinevatel kasutajatel on erinev vaikimisi otsimootor ja seda nad kergekäeliselt ei vaheta. Aga see on tulemuse eeldamine ja pole huvitav.

Mängus on kolme tüüpi osalejaid. Reklaamijad ostavad otsingumootoritelt tasulisi linke otsingutulemuste kõrvale. Kasutajatel on mingi vajadus ja nad klõpsavad reklaamlingil kui on piisavalt suur tõenäosus, et reklaam vajaduse rahuldab. Klõpsamisega kaasneb väike kulu (näiteks ajakulu), nii et kasutajad ei klõpsi kõiki linke läbi, vaid ainult mingi hulga parimana näivaid. Otsimootoritel on teatud arv järjestatud lingikohti, mida võib täita reklaamiga. Nad panevad lingikohad oksjonile, et valida reklaamijate seast see, kelle linki näidata esimesena, kelle linki teisena jne.

Reklaamijatel on erinev tõenäosus kasutaja vajadust rahuldada. Seda tõenäosust teavad reklaamijad (jagavad oma müügitulemuse veebilehe külastajate arvuga), aga teised turu osapooled ei tea. Kasutajatel on erinev lingiklõpsamise kulu, mida nad teavad, aga teised turuosalised mitte. Näiteks mõnel kasutajal on kiire, teine veedab niisama aega, mis tähendab, et esimesel kasutajal on lingiklõpsamise kulu suurem.

Üks tasakaal on, et kasutajad klõpsavad kõigepealt läbi esimese otsingumootori kõik lingid ülevalt alla, siis teise otsingumootori kõik lingid jne. Reklaamijad väärtustavad kõige rohkem esimese otsingumootori esimest linki, seejärel esimese otsimootori teist linki jne. Reklaamija, kellel on kõige suurem tõenäosus kasutaja vajadust rahuldada, teeb lingikohaoksjonil kõige kõrgema pakkumise ja saab esimese otsimootori esimeseks lingiks. Paremuselt teine reklaamija saab esimese otsimootori teiseks lingiks jne. See õigustab kasutajate käitumist – on optimaalne klõpsata lingid alustades esimese otsimootori esimesest. Kasutajate käitumine omakorda õigustab reklaamijate käitumist – kui esimesena külastatakse esimese otsimootori esimest linki, on see koht kõige väärtuslikum. Kasutaja vajaduse rahuldamise tõenäosus on fikseeritud, seega reklaamija tulu suurus sõltub tõenäosusest, millega kasutaja temani jõuab. Mida rohkem on teisi reklaamijaid eespool, seda suurem tõenäosus, et kasutaja on juba ühelt neist ostnud või alla andnud ja otsingu lõpetanud.

Võib muidugi olla teisi tasakaale, kus paremad reklaamijad on erinevate otsingumootorite esikohtadel, mitte esimese otsimootori kõigil lingikohtadel. Aga miks peaks just selline tasakaal valituks osutuma?

Kui reklaamijate paremusjärjestus ja kasutajate otsijärjestus algavad esimese otsimootori kõigist linkidest, oleks loogiline, et esimene otsimootor lisab lingikohti ja haarab veelgi suurema osa turust. Lõpuks jääb alles vaid üks monopoolne otsimootor. Samas kui järjestus algab kõigi otsimootorite esimestest linkidest, siis peaks juurde tekkima ühelingilisi otsimootoreid ja turg peaks arenema täiusliku konkurentsi suunas. Kumbki olukord ei paista tänapäeva otsimootorite turu reaalsusele vastavat (kuigi areng monopoli suunas võib aeglaselt toimuda, kui Google järjest turuosa suurendab).

Koolikatsete eesmärkfunktsioon

Paistab, et koolikatsete ideaalvariandiks peetakse seda, kui parimad õpilased pääsevad parimatesse koolidesse. Ehk toimub assortatiivne seostumine: kategooria A objektid reastatakse mingi tunnuse alusel, samuti kategooria B objektid mingi tunnuse alusel. Siis viiakse A1 kokku B1-ga, A2 kokku B2-ga, A3 B3-ga jne. Aga miks peaks see olema ühiskonna jaoks parim?

Selleks, et assortatiivne seostumine oleks parim variant, peab eesmärkfunktsioon olema teatud omadustega. Ühiskonna jaoks on parimate õpilaste minek parimatesse koolidesse optimaalne, kui ühiskonna kogukasulikkus (mis võib olla liikmete kasulikkuste summa, aga ei pea olema) on sellise koolide ja õpilaste seostumise korral suurim.

Võttes eesmärgiks keskmise „tarkuse“ maksimeerimise, täpsemalt defineerimata, mis see tarkus olla võib, on parimate koolide parimate õpilastega seostumine hea, kui tubli õpilase tarkuse juurdekasv tippkoolis miinus tema tarkuse juurdekasv viletsas koolis on suurem kui halva õpilase tarkuse juurdekasv tippkoolis miinus viletsas koolis. Ehk juurdekasvude vahe on suurem tublidel õpilastel. Vastupidise võrratuse korral tuleks panna viletsad õpilased parimatesse koolidesse ja targad nõrgimatesse. Täpse võrduse korral vahet pole, kes kuhu panna.

Kui iga kool korrutab iga õpilase tarkuse ühest suurema arvuga (eri koolidel erinevad arvud) ja igal õpilasel on positiivne algtarkus, siis peaks panema targemad õpilased parematesse koolidesse. Kui iga kool liidab tarkusele positiivse arvu (eri koolidel erinev), siis pole vahet, kes kuhu panna. Kui koolid tõstavad õpilaste tarkuse tasemele, mis on maksimum kooli tasemest ja õpilase algtasemest (ehk annavad ainult puuduoleva, aga rumalamaks ei tee) ja mõne õpilase algtase on parima kooli tasemest kõrgem, siis tuleks nõrgemad õpilased panna parimatesse koolidesse.

Võttes eesmärgiks maksimaalse, mitte keskmise tarkuse maksimeerimise, tuleks üldiselt panna parimad õpilased parimatesse koolidesse. Kui tahetakse miinimumtarkust maksimeerida, tuleks üldiselt tippkoolidesse panna nõrgimad õpilased. On tarkuse suurenemise funktsioone, mille korral selle lõigu eelnevad laused ei kehti, seetõttu lisasin neile sõna „üldiselt“.

Kui õpilased mõjutavad üksteist, sõltub samuti mõjufunktsioonist ja eesmärkfunktsioonist, kuidas neid kõige parem rühmitada oleks. Eeldame eesmärgina keskmise tarkuse suurenemist. Kui tark tõmbab kaasõpilasi ülespoole rohkem, kui teda ennast alla tõmmatakse ja targa mõju rumalatele on suurem või sama, kui tarkadele, tuleks targad jaotada võimalikult võrdselt klasside vahel. Kui rumal tõmbab teisi alla ise suurt võitmata ja tema mõju tarkadele on suurem, kui rumalatele, tuleks rumalad teistest isoleerida. Kui tark tõmbab tarkade taset üles rohkem kui rumalate taset, peaks targad kokku panema.

Kui ühtlase tasemega õpilastega klassile saab teha neile täpsemalt sobiva õppekava kui erisugustest koosnevale klassile, ja nad seetõttu kiiremini õpivad, siis see õigustaks (lisaeelduste kehtides) eliitklasside ja järeleaitamisklasside moodustamist. Samas kui erinevus mingil põhjusel rikastab, tuleks erisugused õpilased kokku panna. Õpilaste vanusegruppidesse eraldamine (1. klass, 2. klass,…) viitab uskumusele, et vähemalt mingil määral kiirendab sarnaste õpilaste kokku kogumine õppimist.

Empiirilise kontrollita on raske öelda, milline on tegelik mõjufunktsioon ja kuidas peaks koolisüsteemi korraldama. Koolide ja õpilaste vastasmõjude mõõtmine nõuaks suurt andmehulka ja oleks üsna keeruline, nagu olen varem kirjutanud.

Valikukasulikkus ja kogetud kasulikkus

Psühholoogias ja käitumisökonoomikas eristatakse valikukasulikkust ja kogetud kasulikkust. Traditsiooniline majandusteooria neid ei erista. Valikukasulikkus on see, mida agent valiku tegemise hetkel erinevatele variantidele omistab, ehk mida ta arvab iga valiku tagajärjel kogevat. Kogetud kasulikkus on see, mida pärast valiku tagajärgede saabumist tegelikult tuntakse.

Psühholoogias on dokumenteeritud palju olukordi, kus valiku- ja kogetud kasulikkus oluliselt ja süstemaatiliselt erinevad. Näiteks arvavad inimesed, et pärast loteriil suure summa võitu on nad edaspidises elus oluliselt õnnelikumad. Tegelikult on õnnetunde kasv lühiajaline ja mõni aeg pärast võitu on inimese keskmine meeleolu sama, nagu enne. Sümmeetriliselt omistatakse invaliidistumisele oluline õnnetunde langus edaspidi, kuigi tegelikult kohanetakse puudega kiiresti ja taastub tavaline keskmine meeleolu. Mänguteoorias tekib valiku- ja kogetud kasulikkuse erinevus a href= http://www.sanderheinsalu.net/files/ajaveeb/?p=187 mängudes oma tulevase mina vastu. a

Robson ja Samuelson (2011) kirjutasid teoreetilise mudeli, kuidas evolutsioon võib viia valiku- ja kogetud kasulikkuste erinevuseni. See on tavalise mehhanismidisaini probleemi muudetud versioon. Mehhanismidisainis soovib tööandja, et töövõtja teeks midagi või avaldaks oma info, aga töövõtja tegevus pole täpselt vaadeldav. Tegevuse tulemus on mürarikas signaal tegevuse enda kohta, ja tööandja saab eri signaalide eest maksta erinevat tasu. Küsimus on, millisele signaalile mis tasu vastama peaks.

Kasulikkuste mudelis on tööandjaks evolutsioon ja töövõtjaks organism. Evolutsioon püüab panna organismi ellujäämiseks parimat valikut tegema ja annab talle iga valiku eest teatud heaolutaseme. Keskkonna kiire muutumise tõttu ei saa evolutsioon kõiki valikuvõimalusi eristada ja igaühe eest erinevat kasulikkustaset anda. Lisaks on heaolutasemete valik piiratud kahel põhjusel. Kuna heaolu on mingi kemikaali tase ajus, ei saa selle tase olla teatud piirist kõrgem ega madalam. Väikese kasulikkuserinevusega valikuid ei suuda organism eristada. Nii et on lõplik arv kasulikkustasemeid, mida saab panna vastama valikugruppidele.

Kui valikud tehakse kahel perioodil, siis kohandatakse teise perioodi kasulikkustasemeid vastavalt esimese perioodi valikule, et teha kõige tõenäolisemalt ette tulevad valikud üksteisest võimalikult erinevaks. Mida erinevama kasulikkusega on valikud, seda tõenäolisemalt teeb organism kõrgeima heaoluga valiku.

Organism on naiivne ega ennusta, et teise perioodi kasulikkustasemed esimese perioodi valiku tagajärjel muutuvad. Kui ennustaks, siis ei pingutaks ta esimesel perioodil õige valiku tegemiseks nii palju, kuna heaolu kasv õigest valikust neutraliseeritakse teise perioodi kõrgemate nõudmistega sama kasulikkustaseme saavutamiseks. Ehk mida paremat tööd sa teed, seda rohkem tööd sult nõutakse. See loob motivatsiooni esialgu halvemini töötamiseks.

Naiivse organismi puhul meenutab olukord pilti, kus eesli seljas istuv inimene hoiab ridva abil eesli nina ees porgandit. Eesel liigub porgandi poole, aga seda kätte ei saa, kuna porgand liigub vastavalt eesli liikumisele kaugemale.

Üks motivatsioon valiku- ja kogetud kasulikkuse uurimiseks on inimestele paremate valikute tegemise õpetamine, mille all tavaliselt mõeldakse omavahel kooskõlalisi valikuid. Kui aga vastuoluliste valikute tegemise põhjuseks on evolutsiooniline taju erinevus tegelikkusest, ei pruugi kooskõlalisemad valikud paremaks osutuda.

Uskumuste ja eelistuste hierarhiad

Mänguteooria alustes tuleb ette üks matemaatiline konstruktsioon, mis seisneb selles, et igal mängijal on tõenäosusjaotus üle väliste sündmuste ja teiste mängijate tõenäosusjaotuste. Üks mängija usub midagi, usub, et teised usuvad midagi, usub, et teised usuvad, et teised usuvad, ja nii lõpmatult edasi. Lihtsam on seda esitada kahe mängija korral, kes püüavad ära arvata, kas visatud münt maandus kull või kiri ülal. Mina arvan, et kull, ja arvan, et sina arvad, et kull, ja arvan, et sina arvad, et mina arvan, et kiri jne.

Viimasel kümnendil on uskumuste hierarhiatelt edasi mindud ebamäärasuse hierarhiatele, kus igal tasandil on mängijal mingi hulk tõenäosusjaotusi, mitte üks kindel jaotus. Huvitavam edasiarendus on eelistuste hierarhiad, kus mängija eelistab teatud väliste sündmuste toimumist ja teiste mängijate teatud eelistusi, kes omakorda eelistavad teiste mängijate mingeid eelistusi, ja nii kuni lõpmatuseni.

Esimesel lugemisel tundusid eelistuste hierarhiad imelikud, kuna miks peaks ühte mängijat huvitama, mida teised eelistavad, kui nende käitumine samaks jääb. Aga eelistustehierarhiaid kasutatakse käitumisökonoomika kallakuga mudelites, kus mängija hoolib sellest, mis põhjusel teine mingi valiku tegi – näiteks kas teisele kasuliku käigu tegemine oli isekas strateegiline kaalutlus või siiras hoolimine teisest mängijast.

Üks eelistustehierarhiate rakendus on tingimuslik altruism – tahan teha head vaid neile, kes teistele head teevad. Kõrgematele tasemetele minnes – tahan teha head neile, kes teevad head neile, kes teistele head teevad, tahan teha head neile, kes teevad head neile, kes teevad head neile, kes teistele head teevad. Ja tavalisel viisil edasi lõpmatuseni.

Teisest küljest võib inimene tahta takistada kurjategijaid, takistada neid, kes aitavad kurjategijaid, neid, kes aitavad neid, kes aitavad kurjategijaid jne.

Uskumuste hierarhiad lõpevad lõpmatuses, ehk nende induktiivne konstruktsioon on naturaalarvudel, mitte ordinaalarvudel. Tulemuseks on, et iga lõpmatu uskumuste hierarhia annab uskumuse teiste mängijate lõpmatute hierarhiate kohta. Näiteks mängija A iga hierarhia on tõenäosusjaotus üle B hierarhiate ja iga B hierarhia on tõenäosus üle A hierarhiate. Mudel sulgub ringikujuliseks.

Minu praegune uurimisteema on teadmatuse ja uskumuste hierarhiad, kus ma kasutan kahte ebakindluse liiki: riski ja teadmatust. Kahe mängija korral on A teadmatuses mõnedest välistest sündmustest, usub midagi väliste sündmuste ja mängija B teadmatuse ja uskumuste kohta. B omakorda on teadlik vaid osadest sündmustest ning usub midagi A teadmatuse ja uskumuste kohta. Hierarhilise konstruktsiooni igal tasemel on igal mängijal uskumused ja neid piirav teadlikkustase (ei saa uskuda midagi, millest ei olda teadlik). Tasemeid on lõpmatu ja loenduv hulk.

Näiline enese ülehindamine

Käitumisökonoomikas on palju artikleid kus kirjeldakse teoreetiliselt või mõõdetakse empiiriliselt enda ülehindamist väga paljudes olukordades. Enda võimete suhtes ollakse liigoptimistlikud nii autot juhtides, aktsiaturul investeerides kui nuputamisülesandeid lahendades.

Majandusteaduse kõige mõjukamas ajakirjas Econometrica aastal 2011 ilmunud Benoit ja Dubra artikkel juhib tähelepanu olulisele puudujäägile peaaegu kõigis enese ülehindamist mõõtvates empiirilistes artiklites. Neis töödes on tähelepanuta jäetud, et inimesed võivad saada signaale enda võimekuse kohta ja kohandada oma hinnangut oma võimetele vastavalt signaalidele üles- või allapoole. Kui halbade võimete kohta saadakse haruldasi halbu signaale, siis sellise signaali mittesaamine on teatud määral tõend heade võimete kohta. Kuna halvad signaalid on haruldased, siis enamik inimesi neid ei saa ning kohandab oma arvamust oma võimetest ülespoole. Võttes elanikkonnast juhusliku valimi, on seal palju inimesi, kes hindavad ennast (statistiliselt põhjendatult, mitte ebaratsionaalsetel psühholoogilistel põhjustel) paremaks keskmisest, kuna nad pole saanud vastupidist signaali. Valimis on vähe neid, kes on halva signaali saanud ja hindavad end keskmisest halvemaks. Kokkuvõttes näib, nagu oleks valimis tegu ennast süstemaatiliselt üle hindavate inimestega, kuigi tegelikult on kõik ratsionaalsed.

Benoit ja Dubra ei tõesta enese ülehindamise esinemist või mitteesinemist. Nad vaid juhivad tähelepanu, et siiamaani on seda valesti mõõdetud.

Loogika2

Kui teaduse aluseks olevad loogika ja matemaatika reeglid muutuksid, muutuks ka kõik muu. Küsimus selline: kas on võimalik ka mingi teine loogika-matemaatika süsteem, nimetagem seda loogika2. Kui on võimalik kaks, siis muidugi lõpmatus.

Milline näeks universum välja teise loogikasüsteemi all? See küsimus on teatud mõttes paradoksaalne, sest me küsime: kui loogika2, siis mis veel? Küsimus toetub praeguse universumi loogikasüsteemile (loogika) ja tundub eeldavat vastust loogika seadusi järgides. Selline vastus on kas väga piiratud või määramata tõeväärtusega. Õigem küsimus oleks: kui2 loogika2, siis2 mis veel? Ehk selle kindlaks tegemiseks, mis toimuks loogika2 all, tuleb kogu uuringuprotsessis rakendada loogika2-te.

Eelnev on siiski kaheldava tõeväärtusega, sest selle tuletamiseks kasutasin ma loogikat – ma eeldasin, et loogika2 peab olema mittevastuoluline süsteem, aga mittevastuolulisus on defineeritud loogika all, mitte loogika2 all. Iga selline küsimus alternatiivsetest universumitest (sest iga loogika-matemaatika süsteem määrab arvatavasti universumi) võib põrkuda paradoksidele.

Kui tahta midagi öelda võimalike loogikate kohta, peaks kas leidma mingid invariandid – midagi, mis on sama iga loogika all – või tegema teatud eeldused, mis automaatselt piirab saadaolevate vastuste hulka. Jällegi, oletus invariantide või aksioomide vajalikkusest tuleneb loogikast.

Laiem vaade eelnevale probleemile paistab olevat, et küsimus sõltub küsijast ja keelest, milles küsimus esitatakse. Kui oletada küsija objektiivsust ja võimet tajuda vastust (vastuse piiratud ja lõplikku keerukust), jääb ikka keeleküsimus. Parim ja ilmselt ainus keel, milles eelnevaid küsimusi täpselt esitada saab, on matemaatika ja loogika süsteem. Vastus sõltub samuti keelest, milles küsimus esitatakse ja vastuse enda keelest. Esialgu tuleb vist piirduda väga piiratud ja keelest sõltuva vastusega eelnevatele küsimustele. Selle vastuse põhjal võib esitada edasisi küsimusi ja arendada keelt nende täpsemaks esitamiseks.

 

Meie loogika on tuletatud vaatlustest põhjuslikkuse ahelate kohta meie universumis. Kui me tahame küsida midagi nende põhjuslikkuse ahelate olemuse kohta, peaks seda küsima nii, et küsimus ei sõltuks nendest ahelatest. Iga loogika-matemaatikaga (ja inim- ja programmeerimiskeeltega) küsitud küsimus sõltub põhjuslikkuse ahelatest. Kui näiteks vastuseks oleks, et need põhjuslikkuse ahelad tegelikult sellised ei ole, nagu me arvame, näiteks ei eksisteeri, siis meie neist ahelatest tuletatud loogika ei tööta ja selles küsitud küsimused ja saadud vastused on kohe kaheldava tõeväärtusega (kui on määratud selline asi nagu tõeväärtus).

Esimene viis loogikat laiendada võiks olla tõeväärtuste lisamine, lisaks tõesele ja väärale ka näiteks tõene ja väär, ei tõene ega väär. Üks või mitu lisatud tõeväärtusi peaks kirjeldama tuntud paradokse ja võimaldama neid „lahendada”, näiteks lauset „Ma valetan praegu” tõeväärtuslikult määrata. Kui meil on kaks tõeväärtust, siis võiks olla lõpmatus (mitteloenduv astmes mitteloenduv astmes jne). Isegi kui tõeväärtusi on kontiinum, kus tõene ja väär võivad olla nagu 1 ja 0, eriomadustega elemendid, on ikka väga palju selle universumi vaatlemisest tuletatud reegleid küsimuste esitamist takistamas.

Küsimus järgnev: mis oli enne, kas hulk või loogika? Hulga definitsioon ei paista esmapilgul loogikat sisaldavat. Loogika enda definitsioon võiks olla: funktsioon, mis seab lausele vastavusse hulga {tõene, väär} ühe elemendi. Selle järgi oleks loogika sõltuv hulgast. Aga vaatame lähemalt. Hulga definitsioon on: midagi, mis sisaldab kordusteta järjestamata elemente ja ei ole iseenda element. Sisalduvus on jäetud defineerimata, eeldatakse, et igaüks kujundab reaalsuse vaatlemise põhjal oma arusaamise sellest. Hulga definitsioon paistab eeldavat, et olemise ja mitteolemise võib ühemõtteliselt määrata, et „on” ja „ei ole” on teineteist välistavad. See tuleneb vist küll loogikast. Võime ette kujutada loogika2-i, kus kõik laused võivad korraga võtta suvalist hulka tõeväärtusi. Jällegi põhineb eelnev arutlus loogikal.

Selleks, et probleemi lahendada, küsimusele vastata, on vaja mingit toetuspunkti ehk mingeid aksioome ja taustsüsteemi, kus esitatakse küsimus. See tekitab kohe küsimuse toetuspunktide ja taustsüsteemi õigsuse kohta – miks just need?

Ringsüsteem, iseendale toetuv objekt, ei vajaks aksioome ega ilmselt invariante. Sellise süsteemi üks omadusi oleks ilmselt vastuolude puudumine. Praeguses loogikasüsteemis puuduvad vastuolud, aga see toetub aksioomidele. Võiks öelda, et see on lineaarselt algav ja siis ringile minev süsteem – ei. Kanast tuleb muna ja munast tuleb kana, on vist ringsüsteemi näide. Ringsüsteemi võimatus meie universumis tuleneb sellest, et põhjuslikkuse ahelad ei saa joosta „tagurpidi” ehk hilisem sündmus ei saa põhjustada varasemat. Ringsüsteemiks peaks põhjuslikkuse ahela lõpp jõudma tagasi algusesse, ehk kusagil peab toimuma tagasiliikumine.

Võimalik, et tegelikult on universum või multiversum ringsüsteem, aga meile kui selle sees olijatele tundub, et see on lineaarne (suure ringi või kera sees istuvale putukale tundub see sirgjoone või tasandina). Aja liikumine miinus lõpmatusest pluss lõpmatusse on tegelikult ringliikumine (ring on topoloogiliselt vist ekvivalentne reaalteljega).

Ringsüsteemi olemasolu tekitab küsimuse, kus see ringsüsteem asub – millises taustsüsteemis? Võimalik, et küsimus on parima loogika2-ga võrreldes valesti püstitatud, aga praegusest loogikast lähtuvalt on alati võimalik iga vastuse kohta uus küsimus esitada.

Kuidas otsustada kuidas otsustada kuidas otsustada…

Üks majandusartikkel, mis on minu jaoks väga huvitav, aga täiesti kasutu, on Lipman 1991 How to decide how to decide how to… Modeling limited rationality. See tõestab lahenduse olemasolu järgneva otsustusprobleemi jaoks.

Olgu meil mingid alternatiivid, mille hulgast me tahame optimaalse valida. Selleks tuleb valida parim valikumeetod, aga meetodi valik on omakorda otsustusprobleem. Tuleks valida parim meetod meetodi valikuks, parim meetod meetodi valiku meetodi valikuks, meetodi valiku meetodi valiku meetodi valikuks jne. Tegemist on lõpmatu rekursiooniga.

Lipman 1991 tõestab, et lahendus sellele valikute jadale eksisteerib, aga alles pärast lõpmatust (induktsioon ordinaalarvudel, mitte naturaalarvudel). Nii et kui me läheme lõpmatusest edasi, siis jõuame kunagi lahendini. Tõestus pole konstruktiivne, näitab ainult lahendi olemasolu, nii et lahendusalgoritmi see ei anna. Seetõttu on artikkel üsna kasutu.

Kattuvate põlvkondade mudel

Makroökonoomika kattuvate põlvkondade mudel näeb välja järgmine. On lõpmatu arv perioode ja põlvkondi. Iga põlvkond elab kaks perioodi (noorus ja vanadus), millest noorus kattub eelneva põlvkonna vanadusega ja vanadus järgneva põlvkonna noorusega. Põlvkondade suurus võib muutuda. Iga põlvkond sünnib mingi ressursiga mõlemal elusoleku perioodil, näiteks töötundide hulgaga. Mudel muutub huvitavaks, kui need ressursid on nooruses ja vanaduses eri suurusega.
Põlvkond võib kaubelda endale eelneva või endast järgneva põlvkonnaga, ja siin tuleb mängu nähtus, kus lõpmatusest saab alati juurde võtta. Kui iga põlvkond sünnib ühe ressursiühikuga nooruses ja nulli ressursiühikuga vanaduses, siis võib iga noor põlvkond anda oma kaasaegsele vanale pool ressursist ja saada vanaduses järgmiselt põlvkonnalt nende nooruses pool nende ressursist.
Lõpliku arvu põlvkondade korral peaks viimane põlvkond oma nooruses kaupa ära andma ja vanaduses kelleltki midagi ei saaks, sest pole enam, kellelt saada. Aga lõpmatu põlvkondade arvu puhul on alati olemas järgmine, ehk „lõpmatusest“ saab alati ressurssi juurde.
Kui põlvkonnad sünnivad nulli ressursiühikuga nooruses ja ühega vanaduses, siis võiks iga põlvkond vanaduses anda pool oma ressursist noortele, aga probleem tekib esimese põlvkonnaga, kes nooruses kelleltki midagi ei saa, aga vanaduses peaks osa oma varast ära andma. Kuna mudel pole lõpmatu põlvkondade jada alguse suunas, siis vanadelt noortele edasiandmine ei tööta. Tehes mudeli kahest otsast lõpmatuks, saab seda tulemust muuta.
Kui põlvkondade suurus suureneb, näiteks iga põlvkond on kaks korda suurem eelmisest, siis kui iga inimene annab pool kaubaühikut eelnevale põlvkonnale, saab iga inimene eelnevas põlvkonnas ühe kaubaühiku, kuna saajaid on kaks korda vähem, kui andjaid. Nii et rahvastiku kasv on vanadele tore asi – noored jõuavad neid suhteliselt vähe pingutades ülal pidada. Noored nõustuvad vanadele ressurssi andma, kui ise loodavad järgmiselt põlvkonnalt sama teenet, nii et lõplikus mudelis asi ei tööta.
Lõpliku planeedi või universumi korral peab põlvkondade kasv (ja ka sünd) kord lõppema, nii et üksüheselt seda mudelit tegelikkusesse kanda ei saa. Aga matemaatiliselt on ebakindlus perioodide arvu suhtes mõneti sarnane lõpmatu perioodide arvuga, mis suurendab selliste mudelite rakendatavust.

Gödelit tsiteeritakse lepinguteoorias

Üllatusega nägin, et Econometricas on vastuvõetud artiklite hulgas Petersi ja Szentesi lepinguteooria artikkel, kus kasutatakse Gödeli kodeeringut ja esimest järku loogikat. Artikkel kirjeldab lõpmatut regressi lepingute hulgas, mis tekib sarnaselt uskumuste hierarhiatele – mitme majandusagendi omavahelistes lepingutes võivad olla teiste agentide lepingutele viitavad klauslid. Teiste lepingutes omakorda esimesest lepingust sõltuvad punktid. Nii et üks leping sõltub teisest, mis sõltub esimesest, mis sõltub teisest…
Peters ja Szentes kirjeldavad, milliste tasakaaludeni on võimalik üksteisest sõltuvate lepingute abil jõuda. Tõestuses esitavad nad iga võimalikku lepinguteksti naturaalarvuna (see esitus on Gödeli kodeering) ja lepingutekstid on kirjutatud esimest järku loogika süntaksis (saavad sisaldada aritmeetilisi tehteid ja kvantifikatsiooni). Iga leping on defineeritav funktsioon kõigi lepingute hulgast kõigi agentide valikuprofiilide hulka.