Sildiarhiiv: teadusartikkel

Otsingumootorite konkurents

Mõtlen teadustöös praegu otsingumootorite oligopoli mänguteoreetilise modelleerimise peale, et laiendada Athey ja Ellisoni 2011 QJE-s avaldatud mudelit ühelt otsimootorilt mitmele. Tundub, et on raske tasakaaluna saavutada olukorda, kus mitu otsingumootorit koos eksisteerivad. Võib muidugi eeldada, et erinevatel kasutajatel on erinev vaikimisi otsimootor ja seda nad kergekäeliselt ei vaheta. Aga see on tulemuse eeldamine ja pole huvitav.

Mängus on kolme tüüpi osalejaid. Reklaamijad ostavad otsingumootoritelt tasulisi linke otsingutulemuste kõrvale. Kasutajatel on mingi vajadus ja nad klõpsavad reklaamlingil kui on piisavalt suur tõenäosus, et reklaam vajaduse rahuldab. Klõpsamisega kaasneb väike kulu (näiteks ajakulu), nii et kasutajad ei klõpsi kõiki linke läbi, vaid ainult mingi hulga parimana näivaid. Otsimootoritel on teatud arv järjestatud lingikohti, mida võib täita reklaamiga. Nad panevad lingikohad oksjonile, et valida reklaamijate seast see, kelle linki näidata esimesena, kelle linki teisena jne.

Reklaamijatel on erinev tõenäosus kasutaja vajadust rahuldada. Seda tõenäosust teavad reklaamijad (jagavad oma müügitulemuse veebilehe külastajate arvuga), aga teised turu osapooled ei tea. Kasutajatel on erinev lingiklõpsamise kulu, mida nad teavad, aga teised turuosalised mitte. Näiteks mõnel kasutajal on kiire, teine veedab niisama aega, mis tähendab, et esimesel kasutajal on lingiklõpsamise kulu suurem.

Üks tasakaal on, et kasutajad klõpsavad kõigepealt läbi esimese otsingumootori kõik lingid ülevalt alla, siis teise otsingumootori kõik lingid jne. Reklaamijad väärtustavad kõige rohkem esimese otsingumootori esimest linki, seejärel esimese otsimootori teist linki jne. Reklaamija, kellel on kõige suurem tõenäosus kasutaja vajadust rahuldada, teeb lingikohaoksjonil kõige kõrgema pakkumise ja saab esimese otsimootori esimeseks lingiks. Paremuselt teine reklaamija saab esimese otsimootori teiseks lingiks jne. See õigustab kasutajate käitumist – on optimaalne klõpsata lingid alustades esimese otsimootori esimesest. Kasutajate käitumine omakorda õigustab reklaamijate käitumist – kui esimesena külastatakse esimese otsimootori esimest linki, on see koht kõige väärtuslikum. Kasutaja vajaduse rahuldamise tõenäosus on fikseeritud, seega reklaamija tulu suurus sõltub tõenäosusest, millega kasutaja temani jõuab. Mida rohkem on teisi reklaamijaid eespool, seda suurem tõenäosus, et kasutaja on juba ühelt neist ostnud või alla andnud ja otsingu lõpetanud.

Võib muidugi olla teisi tasakaale, kus paremad reklaamijad on erinevate otsingumootorite esikohtadel, mitte esimese otsimootori kõigil lingikohtadel. Aga miks peaks just selline tasakaal valituks osutuma?

Kui reklaamijate paremusjärjestus ja kasutajate otsijärjestus algavad esimese otsimootori kõigist linkidest, oleks loogiline, et esimene otsimootor lisab lingikohti ja haarab veelgi suurema osa turust. Lõpuks jääb alles vaid üks monopoolne otsimootor. Samas kui järjestus algab kõigi otsimootorite esimestest linkidest, siis peaks juurde tekkima ühelingilisi otsimootoreid ja turg peaks arenema täiusliku konkurentsi suunas. Kumbki olukord ei paista tänapäeva otsimootorite turu reaalsusele vastavat (kuigi areng monopoli suunas võib aeglaselt toimuda, kui Google järjest turuosa suurendab).

Mereröövlite põhiseaduslikust demokraatiast

Leeson (2007) kirjeldab ajalooliste dokumentide põhjal mereröövlilaevade elukorraldust ja võrdleb seda kauba- ja sõjalaevadega. Erinevalt kauba- ja sõjalaevadest panid mereröövlid enne retke alustamist ühehäälselt paika laeva seadused ja karistused nende rikkumise eest. Mereröövlid valisid endale kapteni ja laevaohvitserid, ning võisid neid retke käigus vahetada, kui nende tööga rahul polnud. Hierarhiat oli mereröövlilaevadel vähe, kaptenid ja ohvitserid magasid ja sõid samades tingimustes madrustega. Ka kehtisid neile samad karistused, mis laevkonna lihtliikmetele.

Leeson toob välja poliitökonoomilised põhjused, miks erinevatele laevaliikidele sobisid erinevad elukorraldused. Kaubalaevadel oli vaja piirata kauba varastamist madruste poolt, mida omanikku esindava kapteni absoluutne võim tagas paremini, kui demokraatia, kus madrused oleksid hääletanud kõige lahkema kapteni poolt. Kapten oli tihti mõne kaupmehest laevaomaniku sugulane, nii et tal oli vähem kalduvust kaupmeeste laevas olevat vara omastada. Kapteni absoluutse võimu varjuküljeks oli madruste liigne rõhumine ja nende tagant varastamine julmade ja ahnete kaptenite poolt.

Mereröövlitel polnud vaja institutsiooni, mis kaitseks laevaomaniku vara madruste eest, sest laevameeskond oligi laeva omanikering. Põhiliseks mureks oli kaptenipoolse rõhumise ja omavaheliste tülide ära hoidmine, milleks sobis seadustel põhinev demokraatia, mitte autoritaarne korraldus.

Kohandumine ühiskonnaga vs ühiskonna kohandamine

Tavalistes hääletusmudelites, mis käivad demokraatiate kohta, kohandab poliitik oma lubadusi mediaanvalija maitsele vastavamaks, et võimule pääseda. Gregory, Schröder ja Sonin toovad välja huvitava duaalse olukorra diktatuurides – seal võib diktaator muuta elanikkonda nii, et mediaaneelistus oleks diktaatori poliitikale lähedasem (kui elanikkonna koosseis on selline, et suurem protsent toetab diktaatorit, on mässuoht väiksem). Ehk mitte poliitik ei kohandu ühiskonnaga vaid kohandab ühiskonda endaga.

Gregory, Schröderi ja Sonini mudelis saab diktaator osaliselt informatiivse signaali iga inimese võimuvastasuse kohta ja võib tappa osa elanikkonnast. Mudelis valib diktaator optimaalse alamate arvu, keda tappa, et minimeerida mässuohu ja tapmise kulu summat. Kuna võimuvastaseid inimesi ei saa täpselt tuvastada, represseeritakse alati ka võimule ohutuid kodanikke. Mida ebatäpsem tuvastus ja nõrgema positsiooniga diktaator, seda rohkem neutraalseid ühiskonnaliikmeid tapetakse ühe võimuvastase kohta – ohutuid ohvreid võib olla palju rohkem, kui tegelikke diktaatori vaenlasi.

Artikkel võrdleb mudeli ennustusi detailsete andmetega Stalini 1930ndate repressioonide kohta ja leiab, et tulemused on andmetega kooskõlas. Mida täpsemalt on (diktaatori arvates) vaenulik rühm tuvastatav, seda suurem osa sellest rühmast tapetakse ja seda vähem rühma mittekuulujaid jagab nende saatust. Näiteks Stalini-aegses Nõukogude Liidus olid volgasakslased, tšetšeenid ja poolakad palju lihtsamini teistest eristatavad (rahvus oli passis kirjas) kui ähmase definitsiooniga „kulakud ja sotsiaalselt ohtlik element.“ Seetõttu olid repressioonid teatud rahvuste vastu palju täpsemini sihitud kui ühiskondlike klasside vastu.

Lisaks osa rahvastiku hävitamisele võib diktaator elanikkonna mediaanset poliitikaeelistust muuta ka propaganda abil või tekitades lojaalseid kodanikke juurde. Teatud rühma kodanike lisamise näiteks on Hitleri rahvastikupoliitika, mis soosis teatud välimusega inimeste sigimist ja takistas teistsuguste paljunemist. Kui probleemiks on võimuvastasus ainult riigi mõnes osas, on paljud riigid selle vähendamiseks kasutanud kolonisatsiooni. Riigi teistest osadest tuuakse sisse kohalikest keskmiselt võimutruumaid inimesi, näiteks enamusrahvuse liikmeid, ja „lahjendatakse“ nii probleemse piirkonna mässuohtu.

Ka demokraatlikes riikides üritavad poliitikud mitmesuguste nippidega valijaskonna koosseisu muuta (küll mitte otsese erineva maailmavaatega inimeste tapmisega). Teatud piirkonnas saab valijaskonda muuta, muutes valimisringkondade piire (inglise keeles on selle jaoks termin gerrymandering). Kogu riigis immigrantidelt rohkem hääli saavad erakonnad soosivad immigratsiooni. Noortepärased erakonnad tahavad langetada valimisiga, lastega peredelt toetuse otsijad soovivad anda inimestele lisahääli laste arvu põhjal jne.

Matemaatikute sisseränne ja konkurents USAs

Borjas ja Doran kirjutavad QJEs, kuidas Nõukogude Liidu lagunemise järgne matemaatikute sissevool USAsse mõjutas sealsete matemaatikute karjääri- ja avaldamisvõimalusi. Sissevoolu järgselt jäi rohkem matemaatika doktorikraadi saanuid töötuks ja lahkus teadusest, USA matemaatikud liikusid madalama tasemega ülikoolidesse ja avaldasid vähem artikleid.

Seda kõike on lihtne ennustada nõudluse ja pakkumise mudelist. Matemaatikute pakkumine suurenes, aga nõudlus jäi samaks, sest uusi töökohti ega ilmselt ka teadusajakirju ei loodud. Sama arv matemaatikuid täitis sama arvu kohti, aga need olid erinevad inimesed. Sisserännanud matemaatikud said töökohad ülikoolides, kust siis mõned seal varem olnud teadlased lahkusid nõrgematesse ülikoolidesse, kust omakorda osa varasemaid olijaid pidi lahkuma jne. Ülikoolide pingerea allotsa jõudes pidid sealt välja tõrjutud matemaatikud teadusest lahkuma.

Borjas ja Doran väidavad, et USA matemaatikute tootlikkus langes sisserände tagajärgel, aga sisserändajate teadustöö kompenseeris selle üsna täpselt. Kui autorid arvavad, et avaldatud teadusartiklite hulk (mis on neil tootlikkuse mõõduks) mõõdab teadlase absoluutset tootlikkust, siis teevad nad vea, jättes arvestamata samaks jäänud avaldamisvõimaluste arvu. Kui suurem arv teadlasi konkureerib sama arvu artiklikohtade pärast ajakirjades, siis loomulikult varasemate olijate artiklihulga langus võrdub uute tulijate artiklihulgaga. See ei tähenda kohalike teadlaste tootlikkuse langust, vaid keskmise artikli kvaliteedi tõusu. Fikseeritud artiklikohtade arvu korral mõõdab avaldatud artiklite hulk inimese suhtelist tootlikkust võrdluses teiste sama valdkonna teadlastega.

Kui ajakirjade toimetajad valivad neile saadetud artiklitest n parimat, siis sisse rännanud matemaatikud suudavad kohalike artikleid ajakirjadest välja tõrjuda ainult parema kvaliteedi abil. Kui uued tulijad avaldavad m artiklit, siis nende m artikli minimaalne kvaliteet on suurem või võrdne välja tõrjutud artiklitest parimaga. Kvaliteedi minimaalse tõusu suuruse saab leida, eeldades et immigrantide artiklid asendavad täpselt kohalike kõige viletsamad artiklid. Maksimaalse tõusu suurust lihtsalt avaldamisandmete põhjal leida ei saa, sest kui sisserändajate m artiklit on paremad kui kõik kohalike omad, siis võivad nad olla kuitahes palju paremad. Asendades m kohalike tippartiklit, sunnitakse asendatud artikleid asetuma m järgmisele kohale, m järgmist omakorda asendavad neist allpool olevaid jne. Ajakirjadest välja jäävad ikka kõige viletsamad, aga juurdetulijad võivad olla lõpmatult paremad kui algne hulk.

Muidugi pole ajakirjade toimetajad kõiketeadjad ega suuda alati valida parimaid artikleid, aga kui nad keskmiselt teevad õige otsuse (valivad parema artikli suurema tõenäosusega kui halvema), siis eelnev argument kehtib, ainult muutuste suurus väheneb (kvaliteet tõuseb vähem).

Miks diktatuuride juhtkonnad on rumalamad kui demokraatiate

Konstantin Sonin kirjutab ustavuse ja asjatundlikkuse vahetuskaubast diktatuurides. Küsimus pole ainult selles, et diktaator valib lähikondlasi ustavuse, mitte mõistuse järgi – osavus riigiasjades võib diktaatori vaatepunktist olla isegi negatiivne omadus. Mida kavalam inimene, seda suurema tõenäosusega suudab ta kõrgele kohale jõudes diktaatori kukutada ja ise asemele asuda, seega diktaator väldib heade juhtide valitsusse kaasamist.

Olukord meenutab lugu Aleksander Suurest, kes küsis poisina oma isalt, kuidas tuleks riiki valitseda. Isa viis ta põllule ja lõikas maha kõik teistest üle ulatuvad viljapead. Diktaator kindlustab oma positsiooni kui ei lase kellelgi teisel liiga palju võimu saada, eriti neil, kel on mõistust seda võimu veelgi suurendada. Samas asjatundlikumate inimeste võimult kõrvaldamisel muutub diktatuuri juhtkond ühtlaselt madalalaubaliseks.

Teine paralleel on Isaac Asimovi raamatuga Asum ja Impeerium. Selgitus, miks Asumist palju võimsam Impeerium ei suutnud Asumit vallutada, oli raamatus järgmine. Nõrk kindral ei suuda sõjalist edu saavutada. Tugev kindral nõrga imperaatoriga leiab oma sõjaväele kasulikuma rakenduse kui Asumi vallutamine – kukutab imperaatori ja võtab ise trooni. Tugev kindral tugeva imperaatoriga võib alguses edu saavutada, aga see edu ise on kindralile ohtlik. Kui kindral vallutusretkel edukas on, siis tema populaarsus Impeeriumis, rikkus ja mõjuvõim suurenevad. Tugev imperaator püsib tugevana ainult võimalike rivaalide eemaldamise tõttu, nii et piisavalt eduka kindrali hukkab imperaator. Kui imperaator ise vallutusretke juhtima läheb (kindral ja imperaator samas isikus), siis võtab tema äraolekul keegi teine trooni ja imperaator peab vallutusretke katki jätma, et tagasi kodusõda pidama tulla. Seega ükski kombinatsioon imperaatorist ja kindralist ei suuda pikaajalist edukat vallutusretke pidada.

Lisaks diktaatoripoolsele rumalate lähikondlaste valikule on vähemalt kaks mehhanismi, mis muudavad diktatuuri juhtkonda viletsamaks. Teadmine, et liigne edu on tervisele kahjulik, hoiab diktaatori lähikondlasi edu nimel palju pingutamast ja paneb asjatundlikke inimesi kõrgele kohale jõudmist vältima. Kui viljakõrred teavad, et kõrgeimad viljapead lõigatakse maha, püüavad nad aeglasemalt kasvada.

Sonin viitab suurele hulgale teadusartiklitele, mis kirjeldavad, kuidas diktaatorid vaaraodest Stalini ja Hitlerini ümbritsesid end lollide, kuid lojaalsete inimestega ja kuidas nende õukonnad olid sarnaselt korraldatud. Kuna inimeste motivatsioon ja käitumine pole ajas palju muutunud, on samaks jäänud ka nende vaos hoidmiseks vajalikud mehhanismid, mida iga diktatuur peab püsimajäämiseks kasutama.

Samaaegsetest avastustest

Teaduses on korduvalt ette tulnud, et sama avastus tehakse umbes samal ajal kahe või rohkema teadlase poolt, kes üksteise tööst ei tea. See lükkab ümber teaduse arengu geeniuse teooria, mis väidab, et suurem osa teadlasi nokitseb niisama pisiküsimuste kallal, aga vahel sünnib geenius, kes teeb tõelise läbimurde. Ja siis nokitsetakse jälle edasi, kuni järgmise geeniuseni. Kui revolutsiooniliseks avastuseks on vaja midagi haruldast ja erilist, siis peaksid samaaegsed avastused olema üliharvad, sest need eeldavad kahe haruldase sündmuse koostoimumist.

Teine teaduse arengu seletus on hiiglaste õlgadel seismise teooria, mis ütleb, et kui teadus on teatud maani arenenud, siis järgmine samm on üsna läbipaistev ja lihtne. Seega kui mitu kompetentset inimest loevad sama teaduskirjandust, siis tekib tõenäoliselt enamikul neist sama idee, kuidas tulemusi edasi arendada. Ja nad teevad avastuse enamvähem samaaegselt.

Mul oli just 2011 sügisel juhust hiiglaste õlgadel seismise teooriale isiklikku kinnitust leida. Nimelt on minu universaalsete teadmatuse tüübiruumide artikliga väga sarnaseid artikleid samal kuul kirjutatud tervelt kaks – ühe autoriteks Pintér ja Udvar ning teisel Heifetz, Meier ja Schipper. Kokku niisiis kolm sõltumatut samaaegset avastust. Pole eriti tõenäoline, et kõigi autoriteks geeniused on (vähemalt ühe puhul on kindel, et pole).

Mängud oma tulevase mina vastu

Majandusteaduses on juba üsna laialdane kirjandus kiusatuse ja enesekontrolli kohta. Üks võimalus seda modelleerida on mänguna lühiajalise ja pikaajalise mina vahel (Fudenberg ja Levine 2006). Lühiajaline mõtleb ainult tänasele päevale, pikaajaline tahab kasu kõigile tulevastele lühiajalistele minadele. Seega püüab pikaajaline mina kontrollida lühiajalist.

Näiteks hommikul poes mõtleb inimene, kas osta lisaks salatile maiustusi või mitte. Hommikune mina eelistaks kõige rohkem süüa õhtul salati ja ühe maiustuse, teisel kohal on salat üksi ja viimasel kohal kõik maiustused. Ta teab, et õhtul tekib tal kiusatus süüa kõik maiustused, ehk õhtune mina eelistab kõige rohkem kõiki maiustusi, teisel kohal on tal salat ja üks maiustus, ning viimasel kohal ainult salat. Teades, mida õhtune mina tegema hakkab, otsustab hommikune mina osta ainult salati, ehk valida enda seisukohast paremuselt teine ja õhtuse mina seisukohast halvim variant. Võttes õhtuselt minalt valikuvõimaluse, kontrollib hommikune mina tema käitumist.

Pikaajaline mina peab olema piisavalt ratsionaalne, et läbi mõelda lühiajaliste minade tulevased otsused ja neid enda otsustes arvestada. Kui pikaajaline mina usuks, et lühiajalistel on temaga samad eelistused, ei teeks ta enesekontrolliks midagi ja käitumine oleks ainult jada lühiajalise perspektiiviga otsuseid.

 

Moe mänguteoreetiline modelleerimine

Mitu majandusartiklit on pakkunud erinevaid seletusi moevoolude kujunemisele. Moodi defineeritakse kui kasutuid, kuid kulukaid muudatusi riietuses, tarbimises või käitumises. Tihti korduvad need muutused tsükliliselt.

Moemäng, kus osa populatsioonist püüab sarnaneda nendega, keda nad kohtavad, teine osa rahvastikust aga erineda, on kirjeldatud  Matsuyama (1992) artiklis. Agendid kohtuvad mudelis juhuslikult valitud populatsiooni liikmetega. Kohtumisi on palju ja iga kohtumise järel otsustab agent oma käitumise järgmiseks kohtumiseks.

Koordinatsioonimäng sarnanejate või erinejate vahel on segamini kull-kiri mänguga sarnaneja ja erineja vahel. Täpsemalt kohandavad sarnanejad oma käitumist samaks enda kohatud inimeste käitumisega, erinejad aga erinevaks kohatud inimeste käitumisest. Kui kohtuvad kaks sarnanejat, on tegu koordinatsioonimänguga – mõlemad tahavad teha sama, mis teine, näiteks valida mõlemad sinise või mõlemad punase riietuse. Kui kohtuvad kaks erinejat, on samuti tegu koordinatsioonimänguga, sest mõlemad pooled soovivad sama lahendit – esimene peaks valima sinise ja teine punase, või vastupidi. Sarnaneja ja erineja kohtudes on mäng kull-kiri, kus üks pool tahab valida sama käitumise, mis teine, aga teine pool tahab valida esimesest erineva käitumise. Soovitud lahendid on täpselt vastupidised, ehk tegu on nullsumma mänguga.

Koordinatsioonimängus on kolm tasakaalu – mõlemad sarnanejad valivad punase, mõlemad valivad sinise või mõlemad juhuslikustavad punase ja sinise vahel. Sama kehtib erinejate puhul, ainult nemad tahavad valida (sinine, punane) või (punane, sinine) kombinatsiooni. Koordineeritud tasakaalud on evolutsiooniliselt stabiilsed, ehk kui alustatakse tasakaalust väljas, aga selle lähedal, siis liigub käitumine kohandumise tagajärjel tasakaalu. Segatasakaal on evolutsiooniliselt ebastabiilne, kuna kui üks pool valib rohkem punast, on ka teisel motivatsioon rohkem punast valida ja liigutakse ühe koordinatsioonitasakaalu suunas, mitte segatasakaalu poole tagasi.

Kull-kiri mängus on üks tasakaal, mis on segastrateegiates ehk mõlemad pooled juhuslikustavad oma käitumist. See on evolutsiooniliselt stabiilne.

Neid kahte mängu erinevates proportsioonides segades võib tulemuseks olla kas juhuslikustatud käitumine kogu populatsioonis, moetsüklid või sotsiaalne norm. Moetsüklite korral valivad kõik algul punase, siis üha rohkem sinist, siis jälle punast ja nii perioodilise kõikumisega lõpmatuseni. Sotsiaalse normi kujunedes valivad kõik sama käitumise, kas sinise või punase, olenevalt sellest, kumba algselt rohkem on (see võib olla juhuslik).

Rõivatootjate motiivi pidevalt uusi moode toota analüüsib Pesendorfer (1995).

Majandusteoreetiku dilemmad

Rubinstein (2006) kirjutab ajakirjas Econometrica lõbusas ja lihtsas vormis probleemidest, mis tulevad ette nii ratsionaalsust eeldavas majandusteoorias kui ka käitumisökonoomikas.

Üks probleem on, et kõigi majandusmudelite puhul võib leida olukordi, kus need ei kehti, ehk andmeid, mis teooriale vastu räägivad. Küsimus on, kas selle põhjal peaks teooria kõrvale heitma või peaks seda teooriat ikkagi kasutama, kui ta mõnes olukorras loogilise järelduse annab. Eksperimendid on andnud tulemusi, mis pole kooskõlas ei ratsionaalsete mudelite ega käitumisökonoomikaga, nii et probleem on neil majandusvaldkondadel ühine.

Mudelite vajalikkuses paneb Rubinsteini kahtlema see, et andmetes on mustreid leida võimalik ka mudelita. Artikli lõpus annab ta ülevaate paarist oma eksperimendist, kus saadud tulemused pole kooskõlas ühegi teooriaga majandusteaduses.

Viimane küsimus Rubinsteini artiklis on, kas majandusteoreetikutel on ühiskonnas mingi oluline panus. Teoreetikute põhitegevusala on eluliste juttude matemaatilisteks mudeliteks tõlkimine, mis võib olukorra põhijooni hästi illustreerida, aga võib ka olulisi aspekte välja jätta ja valedele järeldustele viia. Rubinstein võrdleb mudeli loomist valmi kirjutamisega, mis on samuti tegeliku olukorra lihtsustatud ja kontrastsemaks muudetud karikatuur.

Kuidas otsustada kuidas otsustada kuidas otsustada…

Üks majandusartikkel, mis on minu jaoks väga huvitav, aga täiesti kasutu, on Lipman 1991 How to decide how to decide how to… Modeling limited rationality. See tõestab lahenduse olemasolu järgneva otsustusprobleemi jaoks.

Olgu meil mingid alternatiivid, mille hulgast me tahame optimaalse valida. Selleks tuleb valida parim valikumeetod, aga meetodi valik on omakorda otsustusprobleem. Tuleks valida parim meetod meetodi valikuks, parim meetod meetodi valiku meetodi valikuks, meetodi valiku meetodi valiku meetodi valikuks jne. Tegemist on lõpmatu rekursiooniga.

Lipman 1991 tõestab, et lahendus sellele valikute jadale eksisteerib, aga alles pärast lõpmatust (induktsioon ordinaalarvudel, mitte naturaalarvudel). Nii et kui me läheme lõpmatusest edasi, siis jõuame kunagi lahendini. Tõestus pole konstruktiivne, näitab ainult lahendi olemasolu, nii et lahendusalgoritmi see ei anna. Seetõttu on artikkel üsna kasutu.